线性代数基本题目,本人基础极差，求仔细讲解

Question

设A为n阶方阵，R(A)=n-1，α1，α2是其次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为k（α1-α2），为什么？求详解。

设A，B为同阶可逆方阵，则
A，AB=BA B，存在可逆阵P，Q，使PAQ=B
C，存在可逆阵C，是的（C转置）AC=B D，存在可逆阵P，使P^-1AP=B

设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后得到的矩阵，则
A，|A|=|B| B，|A|！=|B|
C，若|A|=0，则|B|=0 D，若|A|>0,则，|B|>0

Answer 1

（1）对齐次线性方程组来说，解的线性组合还是方程组的解；（见课本）
α1，α2是其次线性方程组Ax=0的两个不同的解，α1-α2不等于0

基础解系的个数为n-r（A）=1；
取α1-α2为一基础解系，则Ax=0的通解为k（α1-α2）；

（2）A矩阵不一定满足交换律，错误
B可逆矩阵P，Q可分别看做行，列变化
A，B为同阶可逆方阵，则A，B都与E等价

正确
C为合同关系，正定矩阵与非正定矩阵不合同，错误；
D为相似关系，相似矩阵有相同行列式，|A|与|B|不一定相等，错误

（3）特殊值不妨令A为2阶单位矩阵，令B为A交换行后的矩阵；
|A|=1>0,|B|=-1<0排除AD；
再令B=A=E2；则有|A|=|B|;排除B
若|A|=0，则A为退化矩阵，经过若干次初等变换后得到的矩阵B仍为退化矩阵

故|B|=0
PS：这是基本题目？！
囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧囧追问

第一道为什么不可以是kα1，或者kα2，或者k（α1+α2）呢？

追答

α1，α2，α1+α2可能为0

Answer 2

1. 因为 R(A)=n-1
所以 Ax=0 的基础解系含 n-R(A) = 1 个解向量
又因为 a1,a2是Ax=0 的两个不同的解
所以 a1-a2 ≠0 , 且仍是 Ax=0 的解 (解的性质)
所以 a1-a2 是 Ax=0 的基础解系
所以 Ax=0 的通解为k（α1-α2）.

2.
A,B 不一定可交换, 故 A 不对.
A,B 可逆, 故秩相同, 所以等价, B 正确.
C 是A,B 合同, D 是A,B相似, 都不一定.

3. 知识点: A经初等变换后得B, 所以 |A| = k|B|, k≠0.
所以 C 正确.追问

第一道为什么不可以是kα1，或者kα2，或者k（α1+α2）呢？

追答

a1 , a2 可能是0向量
a1+a2 可能是0向量
但 a1-a2 非零

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