已知abc=1,求证：a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ca+c+1)=1.反之成立吗？（说明原因）

Question

如题所述

Answer 1

a/(ab+a+1)这一项分子分母都乘c;b/(bc+b+1)这一项分子分母都乘ac;c/(ca+c+1)都乘1。(只要遇到abc就由题知得1）这样分母相同把分子向加减。原题得证：
abc=1
ab=1/c,bc=1/a,ca=1/b-->ab+a+1=(1/c)+a+1-->a/(ab+a+1)上下同时×bc
1/(b+1+bc)
a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)=1/(b+1+bc)+b/(bc+b+1)=(b+1）/(b+1+bc)

c/(ca+c+1)=c/(（1/b)+c+1)上下同时×b
c/(ca+c+1)=bc/(1+b+bc)

a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ca+c+1)=(b+1）/(b+1+bc)+bc/(1+b+bc)=1 反之也成立：设abc=k
再设ab+a+1=u,bc+b+1=v,ac+c+1=w
以上三式两边分别乘以c,a,b可得：
abc+ca+c=cu，代入abc=k并根据ac+c+1=w得到：k-1+w=cu---(1)
abc+ab+a=av，代入abc=k并根据ab+a+1=u得到：k-1+u=av---(2)
abc+bc+b=bw，代入abc=k并根据bc+b+1=v得到：k-1+v=bw---(3)

根据已知条件，a/u+b/v+c/w=1
两边同乘以uvw，得到avw+buw+cuv=uvw
下面把(1)式两边乘以v，(2)式两边乘以w，(3)式两边乘以u，三式相加得到
(k-1)(u+v+w)+uv+vw+uw=avw+buw+cuv=uvw----(4)

回到(1),(2),(3)三式，相乘，可以得：
(k-1+u)(k-1+v)(k-1+w)=abcuvw=kuvw
等号左边把(k-1)看作一项展开，把右边的kuvw移到左边，就有：
(k-1)^3+(u+v+w)(k-1)^2+(uv+vw+uw)(k-1)-uvw(k-1)=0
(k-1)[(k-1)^2+(u+v+w)(k-1)+(uv+vw+uw)-uvw]=0
注意把中括号里(k-1)^2后面的项同刚才的(4)式比较，就可以把上式化简为：
(k-1)^3=0
所以k=1
即abc=1

Answer 2

abc=1
所以
b=1/ac
ab=1/c
bc=1/a

所以左边
=1/(1/c+a+1)+1/(1/a+1/ac+1)+1/(ac+c+1)
第一个式子上下乘c
第二个式子上下乘ac
=c/(ac+c+1)+ac/(ac+c+1)+1/(ac+c+1)
=(ac+c+1)/(ac+c+1)
=1=右边 又因为上述推倒每一步都可逆，所以反之亦成立。