已知质数p、q使得表达式2p+1q及2q?3p都是自然数，试确定p2q的值

Question

已知质数p、q使得表达式2p+1q及2q?3p都是自然数，试确定p2q的值．

Answer 1

先设p≥q，则有1≤

2q?3

p

=2×

q

p

-

3

p

＜2，于是只能

2q?3

p

=1，即p=2q-3，
而这时

2p+1

q

=

4q?5

q

=4-

5

q

，要使

2p+1

q

为自然数，只能q=5，从而p=7，
再设p＜q，这时1≤

2p+1

q

=2×

p

q

+

1

q

＜3，于是有下面两种情况：
①

2p+1

q

=1，q=2p+1，此时

2q?3

p

=

4p?1

p

，
解得p=1，不合题意；
②

2p+1

q

=2，2p+1=2q，左边为奇数，右边为偶数，矛盾．
故p²q=7²×5=245．
故答案为：245．