已知函数f（x）=x立方-x。（1）求函数y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程。（2）设a＞0如果过点（a

Question

已知函数f（x）=x立方-x。（1）求函数y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程。（2）设a＞0如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线y=f（x）的三条切线，证明-a＜b＜f（x）

Answer 1

(1)   f(x)'=3x^2-1  f(t)'=3t^2-1是斜率 f(t)=t^3-t 所以切线为（3t^2-1)(x-t)+t^3-t

(2)过（a，b）与曲线上一点（x，x^3-x)的斜率k=（x^3-x-b)/(x-a),这点处的切线斜率k'=3x^2-1,k=k'得到一个方程，整理后得到 2x^3-3ax^2+a+b=0 ,有三条切线说明有三个不想等的实数根。三次方程没有直接给出判别式，但我们可以根据其曲线判断根的情况,图像大致如下（这个根据导数 还有单调性应该很容易画出来

可以看出有一个波峰一个波谷，显然如果波峰波谷都在x轴上方或者下方，那么只有一个根；波峰波谷都在x轴下有一个正好在x轴上，那么只有两个不等根，如果波峰波谷一正一负那么有三个不等实根。

本题就是要求波峰波谷值一正一负，可以看出波峰波谷点是导数等于零的地方，求导得到6x^2-6ax=0

x=a或者x=0，代入方程中（2*0^3-3a*0^2+a+b)(2*a^3-3a*a^2+a+b)<0,得到（a+b）（-a^3+a+b）<0,

如果a+b<0,那么-a^3+a+b<0(a>0),乘积就是正的，矛盾了，所以a+b>0,就有-a^3+a+b<0,移项得到  

-a<b<a^3-a=f(a) 证明完成

追问

第一问是多少？没看懂。

追答

1)f'(x)=3x^2-1
f'(t)=3t^2-1, f(t)=t^3-t
因此在M点的切线为：y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t=(3t^2-1)x-2t^3

2)设切点为(t, f(t)), 则过P点的切线为：y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t
因为过P点，所以切线斜率3t^2-1=(t^3-t-b)/(t-a)
3t^3-3at^2-t+a=t^3-t-b
即化简为：2t^3-3at^2+a+b=0
此方程需有三个不等实根
令g(t)=2t^3-3at^2+a+b
g'(t)=6t^2-6at=0, 得极值点：t=0, a
因此极大值g(0)=a+b>0,故b>-a
极小值g(a)=-a^3+a+b<0, 故b<a^3-a=f(a)
因此有：-a<b<f(a)

追问

哦，懂了。呵呵，太谢谢了。