解微分方程的特解

Question

如题所述

Answer 1

记y'=p,则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy,
因此微分方程为2pdp=sin2ydy,即d(p^2)=--0.5d(cos2y),故
p^2=--0.5cos2y+C.利用已知条件y(0)=pi/2,y'(0)=p(0)^2=1得
1=--0.5cos(2*pi/2)+C,于是C=0.5.
故p^2=0.5(1--cos2y)=sin^2y,p=siny.
p=-siny(由条件知道舍掉）
即dy/dx=siny
dy/siny=dx ln(tany/2)=x+C.再由条件得C=0,
于是解为tany/2=e^x,y/2=arctane^x,y=2arctane^x.

Answer 2

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