十字相乘法

Question

十字相乘法详解、举出典型… 解此类题的技巧、、

Answer 1

十字相乘法概念:
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积a1�6�1a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1�6�1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果： ,在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

例题

例1 把2x2－7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
�
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
�
2 1
1×1+2×3
=7
1 －1
�
2 －3
1×(－3)+2×(－1)
=－5
1 －3
�
2 －1
1×(－1)+2×(－3)
=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
�
a2 c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常
叫做十字相乘法.

例2 把6x2－7x－5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
�
3 －5
2×(－5)+3×1=－7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是
1 －3
�
1 5
1×5+1×(－3)=2
所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).

例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
�
5 －4
1×(－4)+5×2=6
解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y) 2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
1 －2
�
2 +1
1×1+2×(－2)=－3
指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

例3:x2+2x-15

分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)

(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。

=（x-3）（x+5)

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

Answer 2

[科目] 数学[年级] 初二[章节] [关键词] 十字相乘/二次齐次式/换元法/因式分解[标题] 十字相乘(2)[内容] 十字相乘(2)教学目标　　1.使学生掌握通过换元的方法，把可以转化为形如x2+px+q的某些多项式分解因式，渗透化归和整体思想方法；　　2.掌握某些二次齐次式的因式分解方法.教学重点和难点　　重点：运用换元法，对可转化为形如x2+px+q的某些多项式进行因式分解.　　难点：理解二次三项式x2+px+q中的x即可以是单项式，也可以是多项式；对于p和q，不仅可以是单项式(包括数)，也可以是多项式.教学过程设计　　一、复习　　1.把下列各式分解因式：1)x2+5x+4；　　　　　(2)y2+4y－5；　　(3)m2－6m+8；　　　　　(4)p2－5p－36.答：　　 (1)(x+1)(x+4)；　　　 (2)(y+5)(y－1)；(3)(m－2)(m－4)；　　 (4)(p+4)(p－9).　　2.问：在二次三项式x2+px+q中，p和q各满足什么条件时，可以因式分解?　　答：把常数q分解因数，选择其中的两个因数，使它们的代数和等于p，此时，二次三项式 x2+px+q可以分解因式.　　二、新课　　二次三项式x2+px+q中的x，不仅可以是单项式，也可以是多项式. 同样，P和q不仅可以是单项式(包括数)，也可以是多项式.对于这样的多项式怎样分解因式呢?　　例1 把x4+6x2+8分解因式.分析：这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可转化为y 2+6y+8，这是关于y的二次三项式，我们就可以运用上一节课所学的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法解 设x2=y，则多项式变为y2+6y+8，　　把它分解因式，得　　　　　　　　　　　　y2+6y+8=(y+2)(y+4).再把y换成x2，得　　　　　　　　　　　　x4+6x2+8=(x2) 2+6x2+8=(x2+2)(x2+4).　　指出：通过设辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略.　　例2 把(a+b) 2－4(a+b)+3分解因式.分析：如果把(a+b)看作一个整体，这样原多项式可看成关于(a+b)的二次三项式，就可以进行因式分解了.　　解 (a+b) 2－4(a+b)+3=(a+b－1)(a+b－3).　　指出：把(a+b)看作二次三项式x2+px+q中的字母x的方法称为“换元法”，这种“整体”思想方法是代数中的主要思想方法，它能起到化难为易，化繁为简的作用.　　例3 把(x2－3x+2)(x2－3x－4)－72因式分解.　　分析：这个多项式较复杂，若能注意题目中的各项的特点，把某些项看作一个整体，运用代换法，即通过设辅助元，把原多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，就可以进行因式分解了.　　问：运用整体思想和换元法，可以有几种不同的分解因式的方法?(不要求写出设辅助元的代换过程.)　　解 方法1 把x2－3x看作一个整体.　　　　　　　　　　原式=[(x2－3x)+2][(x2－3x)－4]－72　　　　　　　　　　　　=(x2－3x)2－2(x2－3x)－80　　　　　　　　　　　　=(x2－3x－10)(x2－3x+8)　　　　　　　　　　　　=(x－5)(x+2)(x2－3x+8).　　　　方法2 把x2－3x+2看作一个整体.　　　　　　　　　　　原式=(x2－3x+2)[(x2－3x+2)－6]－72　　　　　　　　　　　　　　=(x2－3x+2)2－6(x2－3x+2)－72　　　　　　　　　　　　　=[(x2－3x+2)－12][(x2－3x+2)+6]　　　　　　　　　　　　　=(x2－3x－10)(x2－3x+8)　　　　　　　　　　　　　=(x－5)(x+2)(x2－3x+8).　　　　方法3 把x2－3x－4看作一个整体.　　　　　　　　　　　原式=[(x2－3x－4)+6](x2－3x－4)－72　　　　　　　　　　　　　=(x2－3x－4)2+6(x2－3x－4)－72　　　　　　　　　　　　　=(x2－3x－4+12)(x2－3x－4－6) 　 　　　　　　　　　　=（x2-3x+8）(x2-3x-10) =(x2－3x+8)(x－5)(x+2).　　指出；通过例3可以看到，如果把二次三项式(x2－3x+2)与二次三项式(x2－3x－4)相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解因式就困难了.如果把其中的某些项看作一个整体(即把它看作一个新的辅助元)，这就把问题转化为我们熟悉的关于新辅助元的二次三项式，就可以用学过的方法分解因式了.　　例4 把x2－3xy+2y2分解因式.　　问：所给的多项式的结构特点是什么?　　答：多项式中的x和y的最高次项都是2次，中间项x与y的乘积项，次数也是2次，因此这个多项式既可以看作是关于x的二次三项式，也可以看作是关于y的二次三项式.　　问：如果把它看作是关于x的二次三项式，怎样分解因式?　　答：这时，2y2就相当于常数项，可以把它分解为－y与－2y的积，那么－y+(－2y)=－3y恰好等于一次项x的系数.　　解 x2－3xy+2y2=x2－3yx+2y2=(x－y)(x－2y).　　指出：由例4可以看到，当二次三项式x2+px+q中的p和q是一个单项式时，如[科目] 数学[年级] 初二[章节] [关键词] 十字相乘/二次齐次式/换元法/因式分解[标题] 十字相乘(2)[内容] 十字相乘(2)教学目标　　1.使学生掌握通过换元的方法，把可以转化为形如x2+px+q的某些多项式分解因式，渗透化归和整体思想方法；　　2.掌握某些二次齐次式的因式分解方法.教学重点和难点　　重点：运用换元法，对可转化为形如x2+px+q的某些多项式进行因式分解.　　难点：理解二次三项式x2+px+q中的x即可以是单项式，也可以是多项式；对于p和q，不仅可以是单项式(包括数)，也可以是多项式.教学过程设计　　一、复习　　1.把下列各式分解因式：　　(1)x2+5x+4；　　　　　(2)y2+4y－5；　　(3)m2－6m+8；　　　　　(4)p2－5p－36.答：　　 (1)(x+1)(x+4)；　　　 (2)(y+5)(y－1)；(3)(m－2)(m－4)；　　 (4)(p+4)(p－9).　　2.问：在二次三项式x2+px+q中，p和q各满足什么条件时，可以因式分解?　　答：把常数q分解因数，选择其中的两个因数，使它们的代数和等于p，此时，二次三项式 x2+px+q可以分解因式.　　二、新课　　二次三项式x2+px+q中的x，不仅可以是单项式，也可以是多项式. 同样，P和q不仅可以是单项式(包括数)，也可以是多项式.对于这样的多项式怎样分解因式呢?　　例1 把x4+6x2+8分解因式.分析：这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可转化为y 2+6y+8，这是关于y的二次三项式，我们就可以运用上一节课所学的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法解 设x2=y，则多项式变为y2+6y+8，　　把它分解因式，得　　　　　　　　　　　　y2+6y+8=(y+2)(y+4).　　再把y换成x2，得　　　　　　　　　　　　x4+6x2+8=(x2) 2+6x2+8=(x2+2)(x2+4).　　指出：通过设辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略.　　例2 把(a+b) 2－4(a+b)+3分解因式.分析：如果把(a+b)看作一个整体，这样原多项式可看成关于(a+b)的二次三项式，就可以进行因式分解了.　　解 (a+b) 2－4(a+b)+3=(a+b－1)(a+b－3).　　指出：把(a+b)看作二次三项式x2+px+q中的字母x的方法称为“换元法”，这种“整体”思想方法是代数中的主要思想方法，它能起到化难为易，化繁为简的作用.　　例3 把(x2－3x+2)(x2－3x－4)－72因式分解.　　分析：这个多项式较复杂，若能注意题目中的各项的特点，把某些项看作一个整体，运用代换法，即通过设辅助元，把原多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，就进行因式分解了.　　问：运用整体思想和换元法，可以有几种不同的分解因式的方法?(不要求写出设辅助元的代换过程.)　　解 方法1 把x2－3x看作一个整体.　　　　　　　　　　原式=[(x2－3x)+2][(x2－3x)－4]－72　　　　　　　　　　　　=(x2－3x)2－2(x2－3x)－80　　　　　　　　　　　　=(x2－3x－10)(x2－3x+8)　　　　　　　　　　　　=(x－5)(x+2)(x2－3x+8).　　　　方法2 把x2－3x+2看作一个整体.　　　　　　　　　　　原式=(x2－3x+2)[(x2－3x+2)－6]－72　　　　　　　　　　　　　　=(x2－3x+2)2－6(x2－3x+2)－72　　　　　　　　　　　　　=[(x2－3x+2)－12][(x2－3x+2)+6]　　　　　　　　　　　　　=(x2－3x－10)(x2－3x+8)　　　　　　　　　　　　　=(x－5)(x+2)(x2－3x+8).　　　　方法3 把x2－3x－4看作一个整体.　　　　　　　　　　　原式=[(x2－3x－4)+6](x2－3x－4)－72　　　　　　　　　　　　　=(x2－3x－4)2+6(x2－3x－4)－72　　　　　　　　　　　　　=(x2－3x－4+12)(x2－3x－4－6) 　 　　　　　　　　　　=（x2-3x+8）(x2-3x-10) =(x2－3x+8)(x－5)(x+2).　　指出；通过例3可以看到，如果把二次三项式(x2－3x+2)与二次三项式(x2－3x－4)相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解因式就困难了.如果把其中的某些项看作一个整体(即把它看作一个新的辅助元)，这就把问题转化为我们熟悉的关于新辅助元的二次三项式，就可以用学过的方法分解因式了.　　例4 把x2－3xy+2y2分解因式.　　问：所给的多项式的结构特点是什么?　　答：多项式中的x和y的最高次项都是2次，中间项x与y的乘积项，次数也是2次，因此这个多项式既可以看作是关于x的二次三项式，也可以看作是关于y的二次三项式.　　问：如果把它看作是关于x的二次三项式，怎样分解因式?　　答：这时，2y2就相当于常数项，可以把它分解为－y与－2y的积，那么－y+(－2y)=－3y恰好等于一次项x的系数.　　解 x2－3xy+2y2=x2－3yx+2y2=(x－y)(x－2y).　　指出：由例4可以看到，当二次三项式x2+px+q中的p和q是一个单果q可以分觖成两个因式之积，而这两个因式之和正好等于一次项系数p时，这样的二次三项式就可以分解因式.　　三、课堂练习　　把下列各式分解因式：　　1.x4－15x2+26；　　　　　2.(x+y) 2－(x+y)－2；　　3.y4－26y2+25；　　　　　4.(a－b) 2+6(b－a)+5；　　5.(x2－2x)2－7(x2－2x)－8； 6.x2－2xy－8y2；　　7.x2+(a+b)x+ab；　　　　 8.x4－7x2y2+6y4；　　9.(a+b) 2+m(a+b)－12m2.　　　答案：　　1.(x2－13)（x2-2）；　　　　　　　2.(x+y+1)(x+y－2)；　　3.(y+5)(y－5)(y+1)(y－1)； 4.(a－b－1)(a－b－5)；　　5.(x－4)(x+2)(x－1) 2；　　 6.(x+2y)(x－4y)；　　7.(x+a)(x+b)；　　　　　 8.(x+y)(x－y)(x2－6y2)；　　9.(a+b+4m)(a+b－3m).　　四、小结　　本节课所讨论的四个例题都可以通过换元方法，即整体思想方法把原问题转化为形如x2+px+q的二次三项式的因式分解问题.　　学会具体解题方法固然重要，但通过解数学题掌握数学思想方法更为重要.　　五、作业　　把下列各式分解因式：　　1.(1)x4+7x2－18；　　　　　　(2)x6+8x3+15；　　 (3)m2x2－8mx+12；　　　　　(4)x2y2－7xy+10；　　2.(1)x2－7xy+12y2；　　　　　(2)a2+2ab－15b2；　　 (3)m2+4mn－12n2；　　　　　(4)p2+9pq+18q2.　　3.(1)(m+n) 2－(m+n)－30；　　　(2)(x－y) 2－3(x－y)－40；　　　(3)(2m+n) 2－4r(2m+n)+3r2； (4)(a－b) 2－12(a－b)－45.　　4.(1)(x2－4x) 2－(x2－4x)－20；　(2)(a2+5a+3)(a2+5a－2)－6.　　答案：　　1.(1)(x2－2)(x2+9)；　　　　　(2)(x2+3)(x3+5)；　　　(3)(mx－2)(mx－6)；　　　　　(4)(xy－2)(xy－5).　　2.(1)(x－3y)(x－4y)；　　　　　(2)(a+5b)(a－3b)；　　　(3)(m－2n)(m+6n)；　　　　　(4)(p+3q)(p+6q).　　3.(1)(m+n－6)(m+n+5)；　　　　(2)(x－y+5)(x－y－8)；　　　(3)(2m+n－r)(2m+n－3r)；　　 (4)(a－b－15)(a－b+3).　　4.(1)(x+1)(x－5)(x－2) 2；　　 (2) (a2+5a+3)(a2+5a－4)－6　　　　 =[(a2+5a)+3][(a2+5a)－2]－6　　　　　=(a2+5a) 2+(a2+5a)－12　　　　　　=(a2+5a+4)(a2+5a－3)　　　　　=(a+1)(a+4))(a2+5a－3).　　　　　课堂教学设计说明　　通过例1～例3的讨论，向学生介绍换元法，渗透整体思想和化归的思想方法，关于换元法和整体思想方法，在教科书中没有向学生提出，但是，对于帮助学生理解和掌握如例1～例3类型的问题，让学生学习换元法和整体思想方在教科书中没有向学生提出，但是，对于帮助学生理解和掌握如例1～例3类型的问题，让学生学习换元法和整体思想方法是有重要作用的.　　通过换元法把可化归为形如x2+px+q的某些多项式分解因式，使学生体会到，学习新知就说好比“上楼梯”，要逐步登级而上；但是在解决新问题时，常常是通过某种方法和手段，把未知的知识化归为用已知的知识去解决，这就好比“下楼梯”，由高往低，逐级而下“上楼梯”与“下楼梯”的关系可以形象地说明在数学中解决问题的主要思想方法.　　在教学中，通过例题的讨论，引导学生学会在解数学题时，从整体上观察、思考和处理问题，这不仅是一种重要的数学方法，而且是解决有关数学问题时常用的一种技能和技巧.

Answer 3