线性代数 线性相关的问题。 图上第三题，为什么不能理解为方程组BX=A有解，则A可由B线性表示，从而向量组

Question

线性代数 线性相关的问题。
图上第三题，为什么不能理解为方程组BX=A有解，则A可由B线性表示，从而向量组B线性无关？

Answer 1

可以理解为方程组。但是向量组α1,α2,...,αs,β1,β2,...,β(s-1)比向量组β1,β2,...,β(s-1)大，所以表示为方程组时，系数矩阵是(β1,β2,...,β(s-1))，增广矩阵是(β1,β2,...,β(s-1),α1,α2,...,αs)。
记矩阵A=(α1,α2,...,αs)，B=(β1,β2,...,β(s-1)，则由r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,β(s-1))=r(β1,β2,...,β(s-1))知方程组BX=A有解，所以向量组α1,α2,...,αs可以由向量组β2,...,β(s-1)线性表示。
r(A)≤r(B)≤s-1＜s，所以向量组α1,α2,...,αs线性相关。追问

你的解释我看懂了，但是a1.a2...as可由B1...Bs-1线性表示，为什么不能说明向量组B线性无关？

追答

只能确认向量组A线性相关，向量组B不一定线性无关，也有可能线性相关。
举个简单的例子，向量组A是e,2e,3e，向量组B是4e,5e，那么A的秩是1，B的秩是1，A,B合在一起的秩也是1。三个向量组都是线性相关的。

Answer 2

一个B1就能代表你的非齐次方程的A了，人家是S－1维向量，你怎么能套用BX=A这个标准式追问

还是不太理解。。B1怎么代表A？

追答

非齐次方程中A就是一个列向量，与B1对等，但不能与B1,B2，B3，BS－1对等。

比如：你在班级是第一级，你同桌是第二组，你和你同桌可以对等都是一个学生，但你不能对等你同桌所以的小组，因为他们是一个集合。

追问

没有啊，这里A也是向量组。

追答

A和B1是对等的。你问题上写的方程是
“BX=A”A是等号右边，是一组向量，而B是系数矩阵是一个向量组。
所以A只能与β1β2β3...βs-1中的一个对等。