在三角形abc中,BD,CE分别是AC,AB边上的中线，BD与CE

Question

在三角形ABC中,BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE交于点O，BC边上的中线是否一定过点O？为什么？

Answer 1

证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的点，AD、BE、CF 交于O点）。
S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：EA。
[编辑本段]证法
证法1
下面的是第一种方法：相似三角形法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，过点O作MN‖BC，交AB于点M，交AC于点N；
过点O作PQ‖AB，交BC于点P，交AC于点Q。
∵MN‖BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD
∴MO：BD=NO：CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ‖AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF
∴PO：BF=QO：AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP‖AC（内错角相等，两条直线平行）
∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE
∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE
∴MR：AE=PR：CE
∵MN‖BC，PQ‖AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）
∴AE=CE
命题得证。
证法2
下面的是第二种方法：面积法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，
∵点D是BC的中点，点F是AB的中点
∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD
∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
即S△AOC（绿） = S△AOB（红）
∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF
∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
即S△AOC（绿） = S△BOC（蓝）
∴S△AOB（红） = S△BOC（蓝）
∵S△AOE:S△AOB（红） = OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝） = OE:OB
∴S△AOE:S△AOB（红） = S△COE:S△BOC（蓝）
∵S△AOB（红） = S△BOC（蓝）
∴S△AOE = S△COE
∴AE=CE
命题得证。
证法3
下面的是第三种方法：中位线法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，延长OE到点G，使OG=OB。
∵OG=OB
∴点O是BG的中点
又∵点D是BC的中点
∴OD是△BGC的一条中位线
∴AD‖CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点
∴OF是△BGA的一条中位线
∴CF‖AG
∵AD‖CG，CF‖AG
∴四边形AOCG是平行四边形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE
命题得证。
证法四：因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证

Answer 2

你好！你这个问题不是太简单，下面字母写的有点不同，是同样的问题，供你参考 点D,E,F,分别是三角形ABC的边AB,BC,CA的中点，求证：AE,BF,CD相交于同一点O，OB=2OF (点O叫做三角形ABC的重心） 如图： AE、BF、CD分别为BC、AC、AB边中点 设 AE、BF交于O1， BF、CD交于O2， AE、CD交于O3 连接DE ∵ DE是三角形BAC的中位线 ∴ DE∥AC DE/AC=1/2 ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ △EDO3∽△ACO3 ∵ D O3/ O3C=ED/AC=1/2 ∴ AO3/O3E=C O3/ODD=2 ① 同理可证 AO1/O1E =BO1/O1F =2 ② CO2/O2 D = BO2/O2F =2 ③ 由① ② AO3/O3E= AO1/O1E=2 可知 O1、O3为同一点 由② ③ 可知 O1、O2为同一点 ∴ O1、O2、O3为同一点，设这点为O ∴ AE,BF,CD相交于同一点O， OB/OF=2 即 OB=2OF 上面字母F是你题中的D，请根据你的题把字母换一下

Answer 3

按照题目意思提示做辅助线 (1)因为D,E分别是AC,AB中点，所以DE平行且等于1/2BC 同理MN平行且等于1/2BC 所以DEMN是个平行四边形，O是对角线的中点，平分对角线，所以OM=OD，又已知M是OB中点，所以OB=2OD (2)连接AO并延长交BC于F，交DE于M 因为D,N分别是AC,CO中点，所以DN平行AO 而对于三角形EDN，O是EN中点，所以M是DE中点 又已知EM平行BC且E是AB中点，所以BF=2EM=ED=1/2BC 即F是BC中点.

Answer 4

作DF平行DC,交BC延长线于F,连接ED,
因:ED为三角形ABC的中线,
所以:ED平行BC,
ED=BC/2
四边形EDFC为平行四边形,
所以:CF=ED=BC/2,
DF=ED=6
三角形BDF为RT三角形,
所以:三角形BDF的面积=(1/2)BD*DF=(1/2)4*6=12
设:三角形BDF中,BF边上的高为h,则:
三角形BDF的面积=(三角形BDC的面积)
(三角形DCF的面积)
=(三角形BDC的面积)
(1/2)CF*h
=(3/2)(三角形BDC的面积)
所以:三角形BDC的面积=(2/3)(三角形BDF的面积)=(2/3)*12=8
在三角形ABC中,BD为中线,
所以:
三角形ABC的面积=2*(三角形BDC的面积)
所以:
三角形ABC的面积=2*8=16

Answer 5

因为点O是三角形ABC的垂心！如有问题可加好友交流，望楼主采纳