高数 ：连续函数解题

Question

如题所述

Answer 1

两边同时乘以x，
得到
∫(0~1)f(xt)d(xt)=2xf(x)+x²
即：∫(0~x)f(u)du=2xf(x)+x²

两边同时求导得到：
f(x)=2f(x)+2xf'(x)+2x
∴2xf'(x)=-f(x)-2x
∴f'(x)+1/(2x)·f(x)=-1

这是一个一阶线性微分方程，
应用通解公式求得其通解为
f(x)=C/√x-2/3·x

取C=0，可以得到一个R上的连续函数
f(x)=-2/3·x