第1个回答 2013-08-30
处于共点力作用下物体平衡的分析及求解湖南衡东欧阳遇实验中学 阳其保 421411一、共点力作用下的平衡状态
1. 两种状态： A. 静止，B. 匀速直线运动
2. 两个基本特征：
A. 运动学特征：速度为0或速度不变。
B. 动力学特征：物体所受的合外力为0，（即平衡条件）
二、求解共点力平衡的基本步骤：
1. 正确画出受力分析图。
受力分析方法：A. 整体法和隔离法（区分内力和外力）
B. 假设法（判定弹力、摩擦力的有无和方向）
2. 合理建立坐标系，对不在坐标轴上的力进行分解。
3. 利用力的分解和合成求合力，列平衡方程。
4. 解方程。
三、求解共点力平衡的基本方法：
1. 力的正交分解法：此方法适用于三个以上共点力作用下物体的平衡，注意合理选取坐标系，尽可能使落在坐标轴上的力多一些，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。
2. 力的合成、分解法：对于三力平衡，可根据结论："任意两个力的合力与第三个力等大反向"，借助几何知识求解。对于多个力的平衡，可利用先分解再合成的正交分解法。
3. 矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用下平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形，利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求得未知力。此种方法直观、简便，但它仅适于三力平衡。
4. 相似三角形法：即找一个与矢量三角形相似的三角形，利用几何知识求解。
5. 正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭的三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。
四、平衡问题中的临界与极值问题。
1. 临界状态：是从一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一物理过程转入到另一物理过程的转折状态。临界状态也可理解为"恰好出现"和"恰好不出现"某种现象的状态。
常见的临界状态有：
A. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为0），
B. 绳子断与不断的临界条件为作用力达到最大值，弯与不弯的临界条件为作用力为0；
C. 靠摩擦力连接的物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为摩擦力达到最大。
研究的基本思维方法：采用假设推理法。
2. 0极值问题：是指研究平衡问题过程中某物理量变化时出现的最大值或最小值，中学物理的极值问题可分为简单极值问题和极值条件问题，区分的依据就是是否受附加条件限制。
处理极值问题的两种基本方法：
A. 解析法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学求极值的方法求极值。思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂。
B. 图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定最大值和最小值。 此法简便、直观。
通常可利用几何极值原理：如图：三角形一条边a的大小和方向都确定，另一条边b只能确定其方向（即a、b间的夹角θ角确定），欲求第三边的最小值，则必有c垂直于b，且c=asinθ。
例1 (2003 年全国高考卷·19题)如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为 α=60°．两小球的质量比m2/m1为
解析：本题若采用整体法，因 为绳与碗口处的弹力未知无法得解，故应该用隔离法。
对m2进行受力分析可知T=m2g,
对m1进行受力分析，如图所示．
由几何知识有：θ=α / 2
由共点力的平衡条件得
Tcos(α / 2)+N cos(α / 2)=m1g
Tcosα=N cosα
解得:
正确答案：A
点评：本题的解题关键是利用正交分解法列平衡方程，正交分解法解物体的平衡是基本方法，必须熟练掌握。
例2 ．三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为r0的圆环1上，彼此间距相等，绳穿过半径也为r0的圆环2，另一端同样等间距地系在半 径为2r0的圆环3上， 三个圆环环面平行．环心在同一竖直线上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡状态，试求第2个环中心与第3个环中心之间的距离（三个环都是用相同的金属丝制作的，摩擦不计）。
解：由于对称，三根轻绳中张力相同，设为T，如右图所示，若环2重为G，则可得环3的重力为2G，对环2、3整体平衡有3T=G+2G，即有：T=G
隔离环3，由平衡条件得：3Tsinθ=2G
则：sinθ=2/3
即：
所以环2、3间间距
点评：本题虽为全俄竞赛题，物理情景有所变换，但处理的方法仍是基本的隔离法与整体法的应用，注意在利用整体法时，系统内力与外力的区别，同时，因避开了系统的内力，使得解题更合理，更简便。是解物体平衡的常用方法。
例3．如图所示，三角形木块放在倾角为θ的斜面上，若木块与斜面问动摩擦因数μ＞tanθ，则无论作用在木块上竖直向下的外力F多大，木块都不会滑动，这种现象叫做"自锁"．试证明之。
证明: 当F作用在物体上时， 物体所受外力沿斜面向下的分力为：(F+mg)sinθ
假设物体下滑,则沿斜面向上的滑动摩擦力为:
μ(F+mg) cosθ
由μ＞tanθ可得μ(F+mg) cosθ＞(F+mg) sinθ
即物体所受的滑动摩擦力总大于物体沿斜面向下的分力,所以物体不会滑动,出现 "自锁"现象。
点评：本题是假设法在解物体平衡中临界问题的应用，解题的关键是能否找出物体滑动的临界条件：沿斜面 向下的分力大于滑动摩擦力，并能巧用假设法列出相应的关系式。
例4：如图所示，把一个球放在AB和CD两个与纸面垂直的光滑板之间，保持静止，AB板固定不动，与水平面间的夹角为α，CD板与AB板活动连接，CD板可绕通过D点的并垂直于纸面的轴转动，在θ角缓慢地由0°增大到90°的过程中，AB板和CD板对球的支持力的大小如何变化？
解法一：正交分解法：
球的受力如右图所示，球在重力G、AB板的支持力F1、CD板的支持力F2这三个力作用下保持平衡，利用几何关系知F1与竖直线夹角为α， F2与竖直线夹角为θ，根据平行四边形定则，将F1、F2分解为水平、竖直方向的分力，则由平衡条件有：
F1sinα=F2sinθ
F1cosα+F2cosθ=G
联立以上两式得：
F1=G/（cosα+sinαcotθ）
F2=Gsinα /sin(α+θ)
故当α一定、θ由0°逐渐增大到90°的过程中，因cotθ减小，故F1一直增大，当α+θ=90°时，sin（α+θ）最大为1，故F2最小值为Gsinα，所以F2先减小后增大。
解法二：图解法：
如右图所示，根据平行四边形法则，作出F1、F2的合力F，由平衡条件可知，F与G等大反向。在α角一定，F方向竖直向上的情况下选取平行四边形的一半，可得一矢量三角形，当θ由0°增大到90°的过程中，由图可知，F1一直增大，F2先减小后增大，当α+θ=90°，即CD板垂直AB板时，F2最小，且F2min=Gsinα
点评：在用解析法和图解法求解物体平衡中有关力的变化中，图解法能直观反映各力的变化情况，而解析法 通常要涉及三角函数的知识，相对较为复杂，在定性判定力的变化时宜采用图解法。
例5．如图(I)所示，一根轻绳上端固定在Ｏ点，下端拴一个重为G的钢球，球处于静止状态．现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一个时刻，都可以认为是处于平衡状态．如果外力F方向始终水平，最大值为2G，在此过程中，轻绳拉力T的大小的取值范围是____________。在图(Ⅱ)中画出T与cosθ的函数关系图象。
解：钢球受重力G、绳拉力T、及水平向右的外力F作用下处于平衡状态，所以有： F=Gtanθ ，又因为：0 ≤ F ≤ 2G，
所以：0 ≤ θ ≤ arctan2
即： ，又因为：T=G/cosθ
则有?img src="06.gif" width="91" height="24" align="absmiddle"> ，T-cos θ 图象如右图所示。
点评：当物体在缓慢运动过程中，可视为平衡状态。为得出两物理量的图象关系，可先由平衡条件求得其函数关系式，（注意对应的最大值和最小值），再由数学知识画出图象。
例6：如图所示在半径为R的光滑半球面上高为h处悬挂一定滑轮，重力为G的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住，人拉动绳子，在 从与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，试分析小球对半球的压力和绳子的拉力如何变化？
解：如图所示，小球的重力G与两分力F1和F2 构成三角形，各线段组成的三角形与各力组成的三角形相似，
有：F2/L=G/（h+R）， 即F2=GL/（h+R）
因G和（h+R）不变，拉小球时绳长L减小，F2减小，而F2同绳拉力大小相同，故绳拉力减小。
同理有：F1=RG/（h+R），式中R、G、h各量不变，F1不变，而F1与小球对半球的压力大小相同，故小球对半球的压力不变。
点评：在画出力的合成与分解图时，要注意几何知识的运用，此题应用相似三角形求解，对于定性分析某 一些力的变化很直观、而且简便。
例7：如图所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点，另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍．一质量可忽略的动滑轮k，滑轮下悬挂质量为m的重物．设摩擦力可忽略，现将动滑轮和重物一起挂在细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大?
解：平衡时，如下图用FT1、FT2、L1、L2以及θ1、θ2
分别表示两边绳的拉 力、长度以及绳与水平面之间的夹角．
因为绳与滑轮之间的接触是光滑的，故有：
FT1－FT2=FT。
由水平方向的平衡可知 FT cosθ1=FTcosθ2，即θ1=θ2=θ
由题意与几何关系可知 ：L1+L2=2s (OA距离设为s) ①
L1 cosθ+L2cosθ=s ②
由①、②式得 cosθ=1/2 θ=60°
由竖直方向力的平衡可知 2FT sinθ=mg，所以
点评：本题应注意隐含条件的挖掘，即同一段绳中各处的张力相同（不计重力），然后由对称性进行求解，此结论一定是记住。
例8：如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与 水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围（g=10m/s2）
解：作出A受力图，如力所示，由平衡条件得：
Fsinθ+T1sinθ－mg=0
Fcosθ－T2－T1cosθ=0
由以上两式可得：F= mg/ sinθ－T1
F=T2/2cosθ+ mg/2 sinθ
要使两绳都能绷直，则有T1≥0，T2≥0
所以F有最大值：
最小值：
即有：
点评：本题是平衡中临界条件及极值问题的综合，对于绳是否被拉直的临界条件为绳的张力大于或等于0，同时注意条件极值的求解。
例9：1999年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考察船对北极地区海域进行了全方位的卓有成效的科学考察，这次考察获得了圆满的成功，并取得了一大批极为珍贵的资料，“雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也满足一定的条件，以对付北极地区的冰层与冰块，它是靠本身的 重力压碎周围的冰块，同时又应将碎冰块挤向船底，如果碎冰块仍挤在冰层与船帮之间，船帮由于受巨大的侧压力而可能解体，为此，如图所示，船帮与竖直面之间必须有一倾角θ，设船体与冰块间的动摩擦因数为μ，试问使压碎的冰块能被挤向船底，θ角应满足什么条件？（冰块受到的重力、浮力忽略不计。）
解：如图为一碎冰块的受力图，N为考察船侧对冰块的压力，f为考察船对冰块的滑动摩擦力，则有：f=μN，
将N按图分解，则有N1=Ntanθ，
要使冰块能向下滑，Ntanθ＞μN
即满足：tanθ＞μθ＞arctanμ
点评：本题为物体平衡在实际生活中的应用，与现代高科技紧密相关。现代物理教学中倡导的“科学、技术、社会”（STS）教育的思想，正是试图培养未来人才正确的科学思想，提高人类的科学素质，关注当前社会热点问题，要求学生根据自己的知识对热点问题进行思考，做出判断，这将有助于学生形成科学的民主意识，科学决策能力及正确的价值伦理观念，也正是物理教学中最终要达到的目标之一。