已知函数f(x)=x^3-x-√x.
(1)求函数y=f(x)的零点的个数；
(2)令g(x)=(ax^2+ax)/(f(x)+√x)+lnx,若函数g(x)在(0,1/e)内有极值,求实数a的取值范围；
(3)在(2)的条件下,对任意t∈(1,+∞),s∈(0,1),求证：g(t)-g(s)＞e+2-1/e．
(1)解析：∵函数f(x)=x^3-x-√x,其定义域为[0,+∞).
f(0)=0,∴x=0是y=f(x)的一个零点；
当x＞0时,f(x)=x(x^2-1-1/√x),
设φ(x)=x^2−1−1/√x,
φ'(x)=2x+1/(2√x^3)＞0,∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增．
又∵φ(1)=-1＜0,φ(2)=3-1/√2＞0,
故φ(x)在(1,2)内有一零点,
∴y=f(x)在定义域内有且仅有2个零点；
(2)解析：g(x)=(ax^2+ax)/(f(x)+√x)+lnx=(ax^2+ax)/(x^3-x)+lnx
=ax(x+1)/[x(x+1)(x-1)]+lnx=lnx+a/(x-1),
g(x)=lnx+a/(x-1),其定义域是(0,1)∪(1,+∞),
则g'(x)=1/x-a/(x-1)^2=[x^2-(2+a)x+1]/[x(x-1)^2],
设h(x)=x^2-(2+a)x+1,
要使函数y=g(x)在(0,1/e)内有极值,则h(x)=0有两个不同的根x1,x2,
∴△=(2+a)^2-4＞0,得a＞0或a＜-4,且一根在(0,1/e)内,
不妨设0＜x1＜1/e,
又∵x1x2=1,
∴0＜x1＜1/e＜e＜x2,
∵h(0)=1,则只需h(1/e)＜0,即1/e^2−(a+2)•1/e+1＜0,
解得a＞e+1/e-2,
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