证明曲线xyz=a³（a＞0）上任意点处的切平面与坐标平面围成的体积是定值。

Question

如题所述

Answer 1

证明：在曲面上任取点M（x0，y0，z0），则x0y0z0=a^3，显然x0，y0，z0≠0。令F（x，y，z）=xyz-a^3，则曲面在点M处的法向量为

n=▽F（M）=（y0z0，z0x0，x0y0），于是曲面在点M处的切平面方程为

y0z0（x-x0）+z0x0（y-y0）+x0y0（z-z0）=0，即y0z0x+z0x0y+x0y0z=3a^3。

于是切平面的截距分别为3a^3/y0z0，3a^3/z0x0，3a^3/x0y0，从而曲面在点M处的切平面与坐标平面围成的体积，即四面体的体积为V（M）= 1/6 × | （3a^3/y0z0）×（3a^3/z0x0）×（3a^3/x0y0） | =(27a^9)/[6（x0y0z0）^2]=(9a^3)/2，是定值。

由点M的任意性，结论得证。