比如这道题,我自己算,设了P点的坐标(x0,根号1-x0^2)这样算,算了一页纸还没有出来答案,而标准答案上设了个斜率,计算量不大。我想我考试的时候总不能随便蒙着设一个数听天由命吧?
谁能给我一些指导?
12.(2011•江南十校二模)如图,椭圆C:x2a2+y2a2-1=1的左、右顶点分别为A、B,左、右焦点分别为F1、F2,P为以F1F2为直径的圆上异于F1、F2的动点,直线PF1、PF2分别交椭圆C于D、E和M、N.
(1)证明: • 为定值K;
(2)当K=-2时,问是否存在点P,使得四边形DMEN的面积最小,若存在,求出最小值和P点的坐标,若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:由题意得c2=a2-(a2-1)=1,F1(-1,0),F2(1,0),
设P(cosθ,sinθ), • =(cosθ+a,sinθ)•(cosθ-a,sinθ)=cos2θ-a2+sin2θ=1-a2=K(K为定值).
(2)由K=-2得a2=3,椭圆方程为x23+y22=1.
由题意得DE⊥MN,设DE:y=m(x+1),代入椭圆方程,消去y得(2+3m2)x2+6m2x+3m2-6=0.
设D(x1,y1),E(x2,y2),则
x1+x2=-6m22+3m2,x1x2=3m2-62+3m2,
所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=43•m2+13m2+2.
所以|DE|=m2+1|x1-x2|=43(m2+1)2+3m2.
同理,|MN|=43[(-1m)2+1]2+3(-1m)2=43(1m2+1)2+3m2.
所以四边形DMEN的面积
S=|DE|•|MN|2=12•43(m2+1)2+3m2•43(1m2+1)2+3m2=24(m2+1m2+2)6(m2+1m2)+13.
令u=m2+1m2,得S=24(2+u)13+6u=4-413+6u.
因为u=m2+1m2≥2,当m=±1时,u=2,S=9625,故四边形DMEN面积的最小值为9625,此时P的坐标为(0,±1).
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http://wenku.baidu.com/view/669b8edfad51f01dc381f101.html