焦半径公式的推导过程是什么？（详细点）

Question

椭圆和双曲线的焦半径公式
过程最好详细点
谢谢

Answer 1

椭圆的焦半径公式：

　　设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。

　　

　　推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e

　　可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。

　　所以：∣MF2∣= a+em，∣MF1∣= a-em

双曲线的焦半径公式：


已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。

总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）

具体：

点P(x,y)在右支上

│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a

点P(x,y)在左支上

│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)

抛物线的焦半径公式：

抛物线r=x+p/2</CA>

通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦

双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c

a²－b²=c²

抛物线的通径是2p

抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2

【补充】焦半径公式（Focal radius formula）：连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

Answer 2

1.椭圆的焦半径公式

解：设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。

推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e

可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。

所以：∣MF2∣= a+em，∣MF1∣= a-em

2.双曲线的焦半径公式

总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）

具体：

①点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a

②点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)

3.抛物线的焦半径公式

抛物线r=x+p/2</CA>

通径：圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦

双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c

a²－b²=c²

抛物线的通径是2p

抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.

Answer 3

椭圆 设椭圆方程为 x²/a² + y²/b² =1 P为椭圆上任意一点
|PF1|²
=(x - c)² + y²
=[a²(x - c)² + a²y²]/a²
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a²
由 x²/a² + y²/b² =1
原式 =[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²
=[(a²-b²)x² = 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²
=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²
=(a² - cx)²/a²
∴ |PF1| = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex
同理有丨PF2丨 = a + ex

双曲线证明与椭圆类似，可得结论│PF1│=-(ex+a) ;│PF2│=-(ex-a)

Answer 4

焦半径公式的推导：
利用双曲线的第二定义：设双曲线
， 是其左右焦点。
则由第二定义：
，
同理：
即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（ 其中 分别是双曲线的下上焦点）
注意：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）
椭圆上一点P(x0，y0)与焦点F连结的线段PF叫做椭圆的焦半径，与左焦点F1对应的焦半径叫做左焦半径，与右焦点F2对应的焦半径叫右焦半径．一般用椭圆的第二定义来推导焦半径长的公式．

=a+ex0
又|PF2|+|PF1|=2a，
∴|PF2|＝2a-|PF1|=a-ex0．
即当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的左、右焦半径分别是
|PF1|=a+ey0，|PF2|=a－ey0
的下、上焦半径分别是
|PF1|=a+ey0，|PF2|＝a－ey0
在求焦点弦长时，注意焦半径公式的使用本回答被网友采纳

Answer 5

双曲线的焦半径及其应用：
1：定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点 的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2：焦半径公式的推导：
利用双曲线的第二定义：设双曲线
， 是其左右焦点。
则由第二定义：
，

同理：
即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（ 其中 分别是双曲线的下上焦点）
注意：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）

椭圆上一点P(x0，y0)与焦点F连结的线段PF叫做椭圆的焦半径，与左焦点F1对应的焦半径叫做左焦半径，与右焦点F2对应的焦半径叫右焦半径．一般用椭圆的第二定义来推导焦半径长的公式．

=a+ex0

又|PF2|+|PF1|=2a，

∴|PF2|＝2a-|PF1|=a-ex0．

即当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的左、右焦半径分别是

|PF1|=a+ey0，|PF2|=a－ey0

的下、上焦半径分别是

|PF1|=a+ey0，|PF2|＝a－ey0

在求焦点弦长时，注意焦半径公式的使用