同济的教材上，定理表述为闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在端点处具有不同的函数值f(a)=A,f(b)=B,A不等于B。C是A与B之间任意一个数，则在开区间（a,b）内至少存在一点ξ使得f(ξ)=C问题1：C是A与B之间任意一个数，这句话的意思是C∈闭区间[A,B]，还是C∈开区间(A,B)？问题2：为什么定理表述中ξ在开区间（a,b）内存在而不是在闭区间？是因为端点函数值A≠B吗？但是同济的教材上在证明闭区间上连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的一切值时，设m=f(x1),M=f(x2),标注了m≠M，然后却说，在闭区间[x1,x2]上应用介值定理得上述推论，这不矛盾么？问题3：上一段中，介于最大值M与最小值m之间，意味着是开区间还是闭区间？陈文灯的指南里对于介值定理的描述是，μ是介于两个端点值之间的一切实数，则在【闭区间】上存在一点ξ，使得μ等于f(ξ)。 这个描述和教材上的区别是没有指出端点值相等于否，那么在考试的时候，应用介值定理ξ到底是在开区间还是闭区间存在？
我给你发私信了，我的内容太多，百度说超出字数。谢谢
追答我可以告诉你为什么书本上是说（A，B）内的任何一个值，在开区间（a，b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。
而不是说对于闭区间【A，B】内的任何一个值，在闭区间【a，b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。
因为A、B这两个端点值没有讨论的意义。
首先根据题意，x=a时，f（a）=A，x=b时，f（b）=B。这是两个已经确定了的点。而在（a，b）这个开区间内，不一定还有其他的x能使得f（x）=A或=B。
所以书本上是说（A，B）内的任何一个值，在开区间（a，b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。就是表明我们对于还没确定函数值的（a，b）内的x，可以估计一个函数值的可能性。
但是按照你们老师说的对于闭区间【A，B】内的任何一个值，在闭区间【a，b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。方式，就模糊了A、B这两个函数值是在两个端点这两个确定的点上取到的情况。将A、B和AB之间的值都混同到一起，只知道是【a，b】内取值，而不知道是哪一点取值了。这是将原本清晰的f（a）=A和f（b）=B模糊化为【a，b】内至少存在一个ζ使得函数等于A或等于B。这种将原本清晰的问题模糊化的做法，是不应该的。所以书本才是开区间。