如何用分数的知识解决一元一次方程的应用题

Question

如题所述

Answer 1

首先，分数 3x/(4/x + 3) 为整数，等价于分母是分子的因数。因此，我们可以先将分母 4/x + 3 化简：
4/x + 3 = (4 + 3x)/x
然后，将化简后的分母代入原式，得到：
3x/((4+3x)/x) = 3x^2/(4+3x)
由于要使结果为整数，因此需要满足 4+3x 是 3x^2 的因数，即存在一个整数 k，使得：
3x^2 = k(4+3x)
化简得到：
3x^2 = 4k + 3kx
移项得到：
3x^2 - 3kx = 4k
因为等式左侧的 3x^2 和 3kx 都是 x 的二次项，因此可以视为一个二次方程。将等式左侧视为一个关于 x 的二次方程，可以使用求根公式求解：
x = [3k ± sqrt(9k^2 + 48k)]/6
为了使 x 为整数，分子必须为整数，因此要求根号内的表达式为完全平方数，即存在一个整数 m，使得：
9k^2 + 48k = m^2
化简得到：
m^2 = (3k+8)^2 - 64
将等式两边的 64 同时移项，得到：
(3k+8)^2 - m^2 = 64
右侧是两个平方数的差，可以使用差平方公式化简，得到：
[(3k+8)+m][(3k+8)-m] = 64
由于 64 的因数共有 7 对，分别是 (1,64), (2,32), (4,16), (8,8), (-1,-64), (-2,-32) 和 (-4,-16)，因此上式可以有七种不同的整数解：
(3k+8)+m = ±64, (3k+8)-m = ±1
(3k+8)+m = ±32, (3k+8)-m = ±2
(3k+8)+m = ±16, (3k+8)-m = ±4
(3k+8)+m = ±8, (3k+8)-m = ±8
(3k+8)+m = ±1, (3k+8)-m = ±64
(3k+8)+m = ±2, (3k+8)-m = ±32
(3k+8)+m = ±4, (3k+8)-m = ±16
对于每种情况，解出 k 的值，然后代入 x 的解式，即可得到整数解。经过计算，得到以下 5 个整数解：
x = -3, k = -4
x = 0, k = 0
x = 2, k = 4
x = 3, k = 5
x = 16, k = 308
因为分母不能为 0，所以在所有解中只有 x = -3，0，2，3，其中 0 可能会导致分母为 0，因此应该排除。因此，可能的整数 x 的取值为 -3，2，3。