伽利略坐标变换

Question

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Answer 1

设惯性系K’(x’,y’,z’,t’)沿惯性系K(x,y,z,t)的x轴正向以速度U=(u,0,0)匀速运动，自惯性系K到惯性系K’的正交线性变换为A=(aij) (i,j=1,2,3,4)，即
　　(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A ①
　　令R=(x,y,z)，R’=(x’,y’,z’)，A11=(aij) (i,j=1,2,3)，A12=(ai4) (i=1,2,3)，A21=(a4j) (j=1,2,3)，A22=(a44)， 则由K到K’的线性变换可改写为
　　R’=RA11+tA21，t’=RA12+ta44 ②
　　于是
　　dR’/dt’=((dR/dt)A11+A21)/((dR/dt)A12+a44)
　　令dR/dt=V，dR’/dt’=V’，则V、V’分别表示运动粒子在K与K’系中的速度，上式可改写为
　　V’=(VA11+A21)/(VA12+a44) ③
　　满足上述速度变换的初始条件有（1）洛仑兹变换与伽利略变换的公共条件：“V’=0，V=U”与“V=0，V’=–U”；（2）满足伽利略变换的极限条件：|V|→∞时，|V’|→∞。
　　将条件（2）代入，并令V/|V|=V0得
　　|V’|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞ (|V|→∞)
　　上式成立，必有A12’=0=(0,0,0) [注1]，于是③式变为
　　V’=VA11/a44+A21/a44 ④
　　再将条件（1）代入④式，得
　　UA11/a44+A21/a44=0，A21/a44=–U
　　由此得
　　A21=–UA11，A21 =–Ua44
　　由于U=(u,0,0)，代入上式便得a12=a13=a42=a43=0，a41=–a11u， a44=a11，再由A12’=(0,0,0)得a14=a24=a34=0，代入④式，并令V=(vx,vy,vz)，V’=(vx’,vy’,vz’)，便得
　　(vx’,vy’,vz’)=(a11(vx–u)+a21vy +a31vz，a22vy +a32vz，a23vy +a33vz)/a11 ⑤
　　由于对于vx’=0的点，vx =u，代入便得a21=a31=0；对于vy =0的点，vy’ =0，代入便得a32=0；对于vz =0的点，vz’ =0，代入便得a23=0，于是有
　　a12=a13= a14= a21=a23=a24= a31=a32=a34=a42=a43=0，a41=–a11u，a44=a11
　　将上述条件代入①式得
　　(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut)，a22y，a33z，a11t) ⑥
　　又当t=0时，K与K’两惯性系重合，故当t=0时，有x’=x，y’=y，z’=z [注2] ，代入⑥式便得a11=a22=a33=1，这样就得到了伽利略变换为
　　(x’,y’,z’,t’)=( x–ut，y，z，t) 证毕。
　　[注1] A12’表示A12的转置。
　　[注2]显然这一条件是相对论所不容许的，但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛仑兹变换证明中的假定a22=a33=1，或根据洛仑兹变换证明中使用的惯性系平权原理：自K’系到K系的线性变换为A(-U)，且A(U)A(-U)=E，亦能得到a11=a22=a33=1，从而得到伽利略变换。