什么是收敛？

Question

如题所述

Answer 1

收敛是指函数有极限，极限乃微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

PS1：有界集：
设在R中有一个集合A，如果存在正数M<∞：
|x-y|≤M，其中任意x,y∈A；
就称A为有界集，即A是有界的
函数的有界性与其他函数性质（函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。）之间的关系
闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
极限和导数关系密切,而关于函数的导数和连续有比较经典的四句话：
1、连续的函数不一定可导.
2、可导的函数是连续的函数.
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑.
4、存在处处连续但处处不可导的函数.（比如y=|x|）
所以
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导
或者说，每个函数的特性不一样，就又有各种各样的极限和有界，在这个前提下，连续才可以被讨论和测定