三角函数两角和公式推导？

Question

如题所述

Answer 1

单位圆中：

sin(α+β)=|AB|/|AO|=|AB|

∵|AB|=|AE|+|EB|

        =|AC|cosβ+|OC|sinβ

        =|AO|sinα·cosβ+|AO|cosα·sinβ

        =sinα·cosβ+cosα·sinβ

∴sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

同理:cos(α+β)=|BO|/|AO|

                      =|BO|=|DO|-|DB|

                      =|OC|cosβ-|AC|sinβ

                      =|OA|cosα·cosβ-|OA|sinα·sinβ  

可求得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

Answer 2

从(cos0,sin0)到(cos(x-y),sin(x-y))的线段与从(cosy,siny)到(cosx,sinx)的线段长度一样(可以和圆心连线得到全等三角形, 也可以用圆的旋转对称性来看), 由此得到
(cos(x-y)-1)^2+(sin(x-y)-0)^2=(cosx-cosy)^2+(sinx-siny)^2
展开可以算出cos(x-y)=cosxcosy-sinxsiny, 然后用诱导公式就可以推出其它几个公式