【排列组合】某医院有内科医生12名，外科医生8名，选5名参加医疗队。至少有一名内科医生和至少有……

Question

【排列组合】某医院有内科医生12名，外科医生8名，选5名参加医疗队。至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加，有多少种选法？
我有三种方法，第一第二两种方法我懂，但不知道为什么第三种错了。
一.直接法：12C4 * 8C1+12C3 * 8C2+12C2 * 8C3+12C1 * 8C4=14656种
二.间接法：先选：20C5=（20*19*18*17*16/1/2/3/4/5）=15504种
如全是内科：12C5=792种
如全是外科：8C5=56种
共15504-792-56=14656种
三.12C1 * 8C1 * 18C3=78336种 （我的思路：先从12个内科医生中随机取出一个，再从8个外科医生中随机取出一个，最后从剩余18个人中随机取3个）
我的数学老师说我有很多重复了，可我不理解。？

Answer 1

你可以这样想，A和B是内科医生，C是外科医生
按照你第三种思路：
从12个内科医生中选一个，选了A；从8个外科医生中选一个，选了C；再从剩下的18个中选3个，选择了B和其他两个医生D、E
从12个内科医生中选一个，选了B；从8个外科医生中选一个，选了C；再从剩下的18个中选3个，选择了A和其他两个医生D、E
这应该算一种情况，但是在你的方法里，算两种甚至多种情况，于是就重复了啊

Answer 2

先从12个内科医生中随机取出一个，再从8个外科医生中随机取出一个，最后从剩余18个人中随机取3个
这个想法的第三步“从剩余18个人中随机取3个”、这3个可能是内科医生、那么就与第一步“从12个内科医生中随机取出一个”的事件相关联了，不是独立随机事件，同样，也可能与第二步“从8个外科医生中随机取出一个”相关联。
举个例子：
W-外科；N-内科
W1、N1、W2+W3+N2，
W2、N1、W1+W3+N2，
W3、N1、W1+W2+N2，
上面的三个取法是同一个组合，但是在你的第三种解法中，他们被计数3次以上。
不懂可追问。