第1个回答 2013-07-10
一、平面向量 定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等 注意：1(数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2(从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。向量的定义以及有关概念 3(向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 4(正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 向量的表示方法： 1(几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫点） 2(字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） 模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 两个特殊的向量： 1(零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2(单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 向量间的关系： 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥；规定：与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：=；规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三、向量的加法 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：（口诀）“首尾相接” 注意： 1(“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2(可以推广到n个向量连加 3( 4(不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．加法的交换律和平行四边形法则 1(向量加法的平行四边形法则。2(向量加法的交换律：+=+ 3(向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 向量的减法 用“相反向量”定义向量的减法 1(“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 (a 2(规定：零向量的相反向量仍是零向量。(((a) = a，任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + ((a) = 0，如果a、b互为相反向量，则a = (b, b = (a, a + b = 0 3(向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a ( b = a + ((b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ( b 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b 则= a ( b 即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 注意：1(表示a ( b。强调：差向量“箭头”指向被减数 2(用“相反向量”定义法作差向量，a ( b = a + ((b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。 五、实数与向量的积 实数λ与向量的积，记作：λ 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ 1(|λ|=|λ||| 2(λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ= 运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ) ① 第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ② 第二分配律：λ(+)=λ+λ ③ 六、向量共线的充要条件（向量共线定理） 若有向量(()、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量 若与共线(()且||：||=μ，则当与同向时=μ 当与反向时=(μ 从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使=λ 七、平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2 注意几个问题： 1( 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2( 这个定理也叫共面向量定理 3(λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 八、平面向量数量积（内积）的定义，a(b = |a||b|cos(， 并规定0与任何向量的数量积为0。( 注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1(两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos(的符号所决定。 2(两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。 3(在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0。因为其中cos(有可能为0。这就得性质2。 4(已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c。但是a(b = b(c ( a = c 如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA| b(c = |b||c|cos( = |b||OA| (ab=bc 但a ( c 5(在实数中，有(a(b)c = a(b(c)，但是(a(b)c ( a(b(c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。 向量的数量积的几何意义： 数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积。 两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1(e(a = a(e =|a|cos( 2(a(b ( a(b = 0 3(当a与b同向时，a(b = |a||b|；当a与b反向时，a(b = (|a||b|。 特别的a(a = |a|2或 4(cos( = 5(|a(b| ≤ |a||b| 平面向量的运算律 1、交换律：a ( b = b ( a 2、(a)(b =(a(b) = a((b) a + b)(c = a(c + b(c