(一)双轴应力状态的数学分析
在双轴应力状态下，任意截面上的正应力(σθ)和剪应力(τθ)与主应力σ1和σ3之间的关系可通过叠加法求得。
在受力岩体内一点周围取一微分单元体，主应力σ1和σ3分别作用在该单元体上一对互相垂直的面上。截面AB外法线与σ1轴夹角为θ，与σ3轴夹角为90°+θ(图3-7)。
图3-7 双轴应力状态的应力分析示意图
首先分别求出σ1和σ3单独作用时AB面上的正应力σθ1、σθ3和剪应力τθ1、τθ3与σ1和σ3的关系，然后将两项叠加，即：
σθ=σθ1+σθ3 (3-8)
τθ=τθ1+τθ3 (3-9)
当σ1单独作用时，AB面上作用有正应力σθ1和剪应力τθ1(图3-7B)，该面外法线与σ1轴夹角为θ。根据式(3-5)和式(3-6)得：
构造地质学(第二版)
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当σ3单独作用时，AB面上作用有正应力σθ3和剪应力τθ3，该面外法线与σ3轴夹角为90°+θ。
根据公式(3-5)和(3-6)得：
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将σ1和σ3单独作用结果相叠加得：
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式(3-14)和式(3-15)表示双轴应力状态下外法线与σ1轴成θ角的截面上正应力σθ和剪应力τθ与主应力σ1和σ3之间的关系。显然，在已知主应力σ1和σ3的情况下，可求得与σ1轴成θ角的任意截面上正应力和剪应力。从式(3-14)和(3-15)中还可以得出如下结论。
(1)正应力的变化规律
令σθ的一阶导数为0，求σθ的极大值和极小值：
σ′θ=-(σ1-σ3)sin2θ=0
解得： θ1=0°，θ2=90°
当θ=0°时，截面垂直σ1轴，平行σ3轴，σθ=σ1，取极大值。
当θ=90°时，截面垂直σ3轴，平行σ1轴，σθ=σ3，取极小值。
当θ取其他值时，截面与σ1轴和σ3轴斜交，σθ值介于σ1～σ3之间。
(2)剪应力的变化规律
令τθ一阶导数为0，求剪应力的极大值和极小值：
τ′θ=(σ1-σ3)cos2θ=0
解得： θ1=0°，θ2=90°，θ3=45°
当θ=0°时，sin2θ=0，τθ=0。
当θ=90°时，sin2θ=0，τθ=0。
当θ=45°时，sin2θ=1，τθ=
因此，在平行和垂直σ1轴截面上，剪应力为0，在与σ1和σ3成45°角的截面上，剪应力最大，是主应力差的一半。最大剪应力作用面有两个，且互相垂直。σ1轴和σ3轴分别位于最大剪应力作用面的两个角平分线上。
(二)双轴应力状态的莫尔圆分析
1.双轴应力状态莫尔圆的画法
与单轴应力状态莫尔圆作法相同。首先建立以σ为横坐标，以τ为纵坐标的直角坐标系；然后按一定比例在横轴上截取OA=σ1，OB=σ3，得A、B两点；以
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图3-8 双轴应力状态莫尔圆
2.双轴应力状态莫尔圆的物理意义
过莫尔圆一点D(σθ，τθ)引半径CD，∠DCA=2θ，则D点的横坐标(σθ)和纵坐标(τθ)代表外法线与σ1轴夹角为θ的截面上的正应力和剪应力。证明如下：
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∴σθ=OE=OC+CE=OC+CD·cos2θ
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又
∵τθ=DE
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这与式(3-14)和(3-15)相同，所以应力莫尔圆上的一个点代表单元体上的一个面，点的坐标(σθ，τθ)代表该面上的正应力和剪应力。
从双轴应力莫尔圆中可得出与双轴应力状态数学分析相同的结论：①在垂直σ1轴(平行σ3轴)的截面上(图3-8B中A点)，θ=0°，2θ=0°，正应力最大，等于σ1，剪应力为0；②在垂直σ3轴(平行σ1轴)截面上(图3-8B中B点)，θ=90°，2θ=180°，正应力值最小，等于σ3，剪应力为0；③在与σ1轴(和σ3轴)成45°角的截面上，θ=45°，2θ=90°，剪应力取最大值，τmax=