考研数学，线性代数，为什么AX=0,和AtAX=0是同解方程组？

Question

考研数学，线性代数，为什么AX=0,和AtAX=0是同解方程组？At表示转置矩阵

Answer 1

AX=0,和AtAX=0是同解方程组析如下：

当AX=0时，A^TAX=0，所以AX=0的解是A^TAX=0的解。当A^TAX=0时，等式两边同时乘以X^T，得X^TA^TAX=0，也就是（AX）^TAX=0。而（AX）^TAX=||AX||，称为AX的范数，它的取值大于等于0，当且仅当AX=0时，||AX||=0。

所以A^TAX=0时，AX=0，即A^TAX=0的解是AX=0的解。

扩展资料：

同解线性代数方程的性质如下：

1、在实数域内，(x-1)(x2-2x+4)=0 与 (x-1)(x2-6x+11)=0 同解，但在复数域内，二者不同解。

2、根的重数，(x-1)²=0 与 x-1=0 不同解。

3、解集完全相同，其它条件也符合的方程是同解方程。

Answer 2

当AX=0时，A^TAX=0，所以AX=0的解是A^TAX=0的解。当A^TAX=0时，等式两边同时乘以X^T，得X^TA^TAX=0，也就是（AX）^TAX=0。

而（AX）^TAX=||AX||，称为AX的范数，它的取值大于等于0，当且仅当AX=0时，||AX||=0。所以A^TAX=0时，AX=0，即A^TAX=0的解是AX=0的解。

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

以上内容参考：百度百科-线性代数

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Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

N元方程组只表示A有n个列向量(未知X的个数)，并不反应列向量的维数(就是方程的个数)。比如有m个方程n个未知数，(m＞n)，当系数阵的秩等于n时，增广矩阵的可以大于n，这个时候就是无解的情况。希望你能看明白，不枉我打了这么大会的字。本回答被网友采纳

Answer 5

当AX=0时，A^TAX=0，所以AX=0的解是A^TAX=0的解。
当A^TAX=0时，等式两边同时乘以X^T，得X^TA^TAX=0，即（AX）^TAX=0。而（AX）^TAX=||AX||，称为AX的范数（长度），它的取值大于等于0，当且仅当AX=0时，||AX||=0。所以A^TAX=0时，AX=0，即A^TAX=0的解是AX=0的解。
结论，AX=0和A^TAX=0同解。本回答被提问者采纳