有关矩阵的秩的证明题

Question

如题所述

Answer 1

在讨论矩阵秩的证明时，我们假设矩阵A由向量A1，A2，…，An组成，其秩为R(A)=s，且A的最大线性无关组为A1，A2，…，As。同样，矩阵B由向量B1，B2，…，Bn组成，其秩为R(B)=t，且B的最大线性无关组为B1，B2，…，Bt。

我们构建向量组D，它包含了矩阵A和矩阵B的所有向量，即D:A1，A2，…，An，B1，B2，…，Bn。向量组A+B能由向量组D线性表示，因此有R(A+B)<=R(D)。

进一步地，我们构建向量组Q，它包含了矩阵A的最大线性无关组A1，A2，…，As和矩阵B的所有向量B1，B2，…，Bn。向量组D能由向量组Q线性表示，因此R(D)<=R(Q)<=s＋t。

综上所述，我们证明了R(A+B)<=R(D)<=s＋t，从而完成了对矩阵秩证明题的解答。