梯形图形典型例题剖析

Question

如题所述

Answer 1

例1、如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线．求证：四边形EBCD是等腰梯形．

分析：欲证四边形EBCD是等腰梯形，解题思路是证ED//BC，BE=CD，由已知条件易证△BCD≌△CBE得到EB=DC，从而AE=AD，运用等腰三角形的性质可证ED//BC．

证明：

欲证ED//BC，EB=DC，已知AB=AC，因此∠ABC=∠ACB，所以∠DBC=∠ECB=∠ABC，从而△EBC≌△DCB（ASA），得到EB=CD，进而AB-EB=AC-CD，即AE=AD．

利用等腰三角形的性质可证ED//BC，又因EB与DC交于点A，EB与DC不平行，因此四边形EBCD是梯形，又因BE=DC，故四边形EBCD是等腰梯形．

点评：本题关键在于证明ED//BC和EB=DC，易错点在于忽视EB与DC不平行．

例2、如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=DB，AD≠BC．求证：四边形ABCD是等腰梯形．

证明：过点A作AE∥DC交BC边于点E．

由AB=CD和AC=DB，BC=CB，得到△ABC≌△DCB，因此∠ABC=∠DCB．又因AE∥DC，故∠AEB=∠DCB．由此得到∠ABC=∠AEB，进而AB=AE．

四边形AECD是平行四边形，故AD∥BC．又因AB=DC，且AD≠BC，因此四边形ABCD为等腰梯形．

点评：判定等腰梯形，若不能直接使用判定定理，则可通过作辅助线，分解四边形为熟悉多边形．本例通过平行线的添加实现分解．

例3、如图，P为等腰梯形ABCD的下底BC上一点，PM⊥AB，PN⊥CD，M，N为垂足，BE⊥CD，E为垂足．求证：BE=PM+PN．

证明：过P点作PH⊥BE于点H．

因BE⊥CD，PN⊥CD，四边形PHEN为矩形，故HE=PN，EN∥PH．由此可知∠BPH=∠C．又因ABCD为等腰梯形，∠ABC=∠C．由此得到∠MBP=∠HPB．利用BP公共，得到Rt△MBP≌Rt△HPB，进而PM=BH．

因此BE=BH+HE=PM+PN．

点评：解决线段和差问题时，通常采用“截长法”或“补短法”．本例采用“截长法”．

例4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB=AD+BC，M为DC的中点．求证：AM⊥BM．

证明：延长AM交BC的延长线于点N．

利用M为DC中点，AD∥BC，得到△ADM≌△NCM，因此AD=CN，AM=MN．由此AB=AD+BC=BN．

根据等腰三角形的性质，AM⊥BM．

点评：梯形两底的延长是集中梯形性质的常用方法．本例同样可以先延长BC至N，使BN=AB，再证A、M、N共线．

例5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求该梯形上下底的和．

解：过D作DE∥AC交BC的延长线于点E．

利用AD∥CE，得到DE=AC=5cm，AD=CE．因AC⊥BD，DE⊥BD．在Rt△BDE中，根据勾股定理可得AD+BC=CE+BC=BE=13cm．

点评：过顶点作对角线的平行线，将对角线关系集中于直角三角形，从而解决梯形底的计算问题．

例6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2．求梯形的高．

解法1：如图（甲），过A作AE∥DB交CB的延长线于点E．

利用AC⊥BD，得到AC⊥AE．因AD∥EB，故AE=BD，EB=AD．又四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD．由此得到AE=AC．

由此△AEC是等腰直角三角形．AF作为斜边上的高，也是斜边上的中线，因此AF=7cm．

解法2：设梯形ABCD的两条对角线相交于O点，过O作OH⊥BC于点H，延长HO交AD于G点（如图（乙））．

利用AD∥BC，得到HG⊥AD．因AB=DC，AC=DB，BC公共，得到△ABC≌△DCB．因此∠2=∠1．又AC⊥BD，△BOC是等腰直角三角形．由此得到OH=HB，以下解答过程与解法1相同．

解法3：过D作DM⊥BC于点M（如图（丙））．

利用梯形ABCD是等腰梯形，AC=DB，∠ABC=∠DCB．又AF=DM，由此得到Rt△AFC≌Rt△DMB，故∠DBC=∠ACB．因AC⊥BD，得到∠DBM=∠ACF=45°．由此△AFC和△DMB都是等腰直角三角形．AF=FC，DM=MB，以下解答过程与解法1相同．

点评：本题的三种解法都利用等腰直角三角形的性质或全等三角形的性质证明梯形的高等于中位线的长，因此等腰梯形中，若两条对角线垂直，则梯形的高等于中位线的长，梯形面积等于高的平方．

例7、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AE=GF=GC．（1）求证四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC=2∠EFB时，求证四边形AEFG是矩形．

分析：本题涉及三角形、四边形的综合证明，包含等腰梯形性质、平行四边形判定与性质、等腰三角形性质等．解答时应注意证明格式与推理方式的规范化．

证明：（1）在梯形ABCD中，AB=DC，因此∠B=∠C．因GF=GC，所以∠C=∠GFC，从而∠B=∠GFC．因此AB//GF，即AE//GF．因AE=GF，四边形AEFG为平行四边形．

（2）过点G作GH⊥FC，垂足为H．因GF=GC，得到∠FGH=∠HGC．已知∠FGC=2∠EFB，因此∠FGH=∠EFB．利用∠FGH+∠GFH=90°，得到∠EFB+∠GFH=90°．由此∠EFG=90°．因四边形AEFG为平行四边形，故四边形AEFG为矩形．