[总结/笔记]3D数学基础二：向量及其运算

Question

如题所述

Answer 1

在数学的广阔世界中，向量扮演着至关重要的角色，它不仅是个数字列表，更是在程序员眼中如数组般灵活多变的工具。向量有维度之分，图形学中常见的是二维、三维和四维，它们的书写形式分为列向量和行向量，而在编程中，2-4维的索引方式则独具特色。

向量的核心概念是大小和方向的结合，它是一个有向线段，大小即我们所说的模，但向量没有固定的绝对位置，仅由其头尾指向和长度来定义。在几何中，二维向量的长度就像直角三角形的斜边，而更高维度的向量计算则遵循类似的几何原理，通过斜边来表示新三角形的关系。

向量运算深入到线性代数的领域，它在描述空间中的位移时尤其得力。零向量作为加法的单位元，其模为零意味着无实际位移，而负向量则是方向与原向量相反的向量。计算向量模时，只需将各分量平方后求和，再取平方根即可。

标量与向量的关系是相乘而非相加，通过标量可以缩放向量，负向量则相当于乘以-1，这使得向量具有可调整大小的灵活性。标准化向量，即单位向量，其大小固定为1，是向量方向的唯一简洁表达，通过特定的计算方法，可以将任何向量调整至这种形式，就像缩放到单位圆或球体上。

向量的加减法遵循特定规则，同维度向量相加减，交换律适用但减法时需注意负向量的处理。点到点的表示则是通过计算两点之间的位移向量，距离公式即为向量模的运用。向量点乘是向量的缩放乘法，其计算方法揭示了向量之间的相似程度，几何上是向量长度与夹角余弦的函数。

点乘结果不仅决定了向量的方向关系，还是向量在特定方向上的投影。向量投影是将向量分解为与给定方向平行和垂直的分量，这在几何上相当于向量在该方向上的模。而在三维空间中，向量叉乘的独特性尤为显著，它产生一个垂直于原向量的新向量，其面积公式反映了两个向量的相互关系，零向量与任何向量的叉乘结果为零，而判断其方向则依赖于右手或左手坐标系规则，常用于生成法向量。

总结来说，向量及其运算在三维数学中扮演着基础而重要的角色，无论是描述空间中的运动，还是在几何、图形学和线性代数中，向量都是不可或缺的工具。深入理解向量的性质和运算规则，将有助于我们更有效地处理和分析三维世界中的各种问题。