极大似然估计法详细解法

Question

如题所述

Answer 1

极大似然估计法是一种统计学中的参数估计方法，它的核心思想是在给定一定数据的情况下，通过寻找最大化似然函数的参数值来估计未知参数的值。
具体来说，极大似然估计法的步骤如下：
1. 假设数据样本服从某个概率分布，例如正态分布、泊松分布等。
2. 根据假设的概率分布，写出似然函数，即样本数据的联合概率密度函数，通常用符号 L 表示。例如，对于正态分布，似然函数可以写作：
L(μ,σ2|x?,x?,…,xn) = (2πσ2)-n/2 × exp[-∑(xi-μ)2/2σ2]
其中，μ、σ2 是未知参数，x?,x?,…,xn 是样本数据。
3. 对似然函数取对数，得到对数似然函数，通常用符号 l 表示。对数似然函数的形式如下：
l(μ,σ2|x?,x?,…,xn) = -n/2 × ln(2πσ2) - ∑(xi-μ)2/2σ2
4. 通过最大化对数似然函数，求出未知参数的估计值。这可以通过对对数似然函数的偏导数进行求解。例如，对于正态分布，对数似然函数关于 μ 和 σ2 的偏导数分别为：
?l/?μ = ∑(xi-μ)/σ2
?l/?σ2 = -n/2σ2 + ∑(xi-μ)2/2σ?
将偏导数置为零，解方程组得到最大似然估计值。
5. 对估计值进行检验，例如计算置信区间、偏差、方差等指标，以确定估计值的可靠性。
需要注意的是，极大似然估计法的前提是假设样本数据服从某个概率分布，因此需要对数据进行检验，以确定是否符合该假设。
此外，估计值的可靠性也需要通过一定的统计检验进行验证。