如何理解不同的定义描述

Question

如题所述

Answer 1

我们先讨论下定义的意思。
定义（Definition）是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义，或者说是用简单的事物和一些限制条件来描述新的复杂的事物。
一般的句式：
1.A是XX的B。
2.满足XX的B称为A。
显然这两个句式说得是一回事情，第一个句式就是一般下定义，记得高考语文里经常出这种题目，请给XX下个定义。第二个句式更多侧重强调A的名字，更有命名的含义。
其中A就是被定义项，XX是性质，B是定义项。这三部分缺一不可，A、B是新旧的事物的名字，而性质是它们的联系。既然说定义那两方面都要讨论到。看到其他答案提到的基本是关于性质方面的，没有讨论名字，使用专业术语的原因之一就是方便交流，那好的名字必然有好的价值。
近代数学是按照严格的公理化体系并且把这个庞大的建筑在集合论之上。下面我慢慢的解释这一点，目的是说明数学定义的体系和严谨性。
前面说到定义是用简单的事物去描述复杂的事物，即A是XX的B。那问题就来了B是什么呢？那我们用更加简单的事物去描述，比如B是XX的C。那C是什么呢？如此往复就无穷无尽了，那可不行。于是数学家们约定这个回溯的过程有个源头，回溯到这个源头后就不再追问了，这个源头就是”集合“。也就是一切数学研究的对象都是集合。
当然还有一个比集合更加宽泛的定义就是类（class），类是集合(有时也可以是其他数学物件)的搜集，可以依所有成员所共享的性质被无歧定义。集合是类，不是集合的类是真类。比如，“所有集合的总体”不是一个集合，所以是一个真类。数学中高度抽象的范畴论讨论的范畴的定义就是类加上一些满足特殊要求的映射构成的类。类这个概念在其他领域用得还是比较少，所以我们还是称集合是源头。