高中数学 求一道题解释 答案没大看懂

Question

抛物线y2＝4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B，若AB的垂直平分线与x轴交于E(x0，0)
（1）求x0的取值范围；（2）ΔABE能否是等边三角形？若能，求x0的值；若不能，请说明理由

求第二问详细解答

为什么|AB|^2=(1+k^2)(16k^2-16)=16(k^4-1)？？？？？点E到AB的距离为(2k^2+2)/√(1+k^2)=2√(1+k^2),
？？？？？怎么带的

(1)由已知，M的坐标为（-1，0），
设AB:x=ky-1代入y^2=4x得y^2-4ky+4=0
由判别式大于0得k^2>1。
设A(x1,y1),B(x2,y2)则
y1+y2=4k,x1+x2=4k^2-2,y1y2=4
AB的中点为(2k^2-1,2k)
AB的中垂线方程为y-2k=-k(x-2k^2+1)
x0=2k^2+1≥3
x0的取值范围是[3,+∞)
（2)由（1）得|AB|^2=(1+k^2)(16k^2-16)=16(k^4-1)
点E到AB的距离为(2k^2+2)/√(1+k^2)=2√(1+k^2),
所以(3/4)[ 16(k^4-1)]= 4(1+k^2),k^2=4/3
x0=11/3
所以 ΔABE能是等边三角形，此时x0=11/3

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
分析：（1）设过点M的方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0可求得k2的范围，令A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和y1+y2，进而得到AB中点坐标，AB垂直平分线的方程，令y=0，得x0＝
k2+2
k2
＝1+
2
k2
，这样就可以求出X0的取值范围．
（2）若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于

3

2
|AB|，由此建立方程，可求k2＝
3
4
，满足0＜k2＜1，从而我们就可以解出这道题
解答：解：（1）由题意易得M（-1，0）
设过点M的直线方程为y=k（x+1）（k≠0）代入y2=4x，得k2x2+（2k2-4）x+k2=0
再设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
4−2k2
k2
，x1•x2=1
y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2）+2k=
4
k

∴AB的中点坐标为（
2−k2
k2
，
2
k
）
那么线段AB的垂直平分线方程为y−
2
k
＝−
1
k
(x−
2−k2
k2
)，
令y=0，得x＝
k2+2
k2
，即x0＝
k2+2
k2
＝1+
2
k2

又方程（1）中△=（2k2-4）2-4k4＞0，∴0＜k2＜1，∴
2
k2
＞2，
∴x0＞3
（2）若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于

3

2
|AB||AB|2＝(1+k2)(x1−x2)2＝(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]＝
16(1+k2)(1−k2)
k4

点D到AB的距离d=
|k•
k2+2
k2
+k|

1+k2

＝
2k2+2
k
1+k2

＝
2
1+k2

k

据d2＝
3
4
|AB|2，得：
4(k2+1)
k2
＝
3
4
•
16(1−k4)
k4

∴4k4+k2-3=0，（k2+1）（4k2-3）=0，
∴k2＝
3
4
，满足0＜k2＜1
∴△ABD可以为正△，此时x0＝
11
3

点评：直线与抛物线的位置关系问题，通常我们是联立方程，组成方程组，利用韦达定理求解，对于存在性命题，一般式假设存在，转化为封闭性命题求解

看在这么辛苦的面子上 采纳吧！！！追问

都串了 乱了 再发一下呗