一、加法交换律：
1、定义：加法交换律是数学计算的法则之一。指两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
2、举例：
加法交换律：20+480=480+20
3、加法交换律局限性：
尽管这一定律看上去似乎对于任何事物都显然成立，但事实并非如此。在没有时间的空间下（三维以内），加法交换律是完全正确的。但是一旦有了时间轴，这个定律就不成立了。
证明这个理论的实验之一如下：
(1)取一个方体物体，如较厚的书或者魔方之类皆可。将其平放在水平台上。
(2)现令正上方的一面，垂直与桌面对着你的一面和垂直桌面在你右边的面为面一、二、三。各自相对的面为面四五六。
(3)定义操作a为将此长方体翻转180度。即面三、六不动，一四交换，二五交换。定义操作b为将左边的面翻至上方。
(4)执行a+b后，向上的一面为面六。执行b+a后，向上的一面为面三。显然a+b不等于b+a。
二、加法结合律：
1、定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。和不变，这叫做加法结合律。用字母表示为:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、举例：
加法结合律：41＋65＋39＝（41＋39）＋65
3、加法结合律证明：
下面从皮亚诺公理体系出发，使用数学归纳法，给出加法结合律的一个严格证明。其中，S(k)表示k的后继序数。简单来说S(k)=k+1。
要证明(m+n)+k=m+(n+k), 对k归纳.
1. k=0, 由加法定义得(m+n)+0=m+n和m+(n+0)=m+n, 因此结合律对k=0成立.
2. 假设结论对k成立, 即(m+n)+k=m+(n+k). 下证结论对S(k)成立,
由加法定义可得: (m+n)+S(k)=S((m+n)+k);
以及m+(n+S(k))=m+S(n+k)
=S(m+(n+k))
又由归纳假设(m+n)+k=m+(n+k)
因此S((m+n)+k)=S(m+(n+k))
所以(m+n)+S(k)=m+(n+S(k))
故结论对S(k)亦成立, 由归纳公理, 结论得证.
加法交换律是数学计算的法则之一。指两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
用字母表示为:a+b=b+a
例题：
65+18=18+65
73+84+27=73+27+84
加法结合律是三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。和不变，这叫做加法结合律。
用字母表示为:(a+b)+c=a+(b+c)。
例题：
99+256+44
=99+（256+44）
=99+300
=399
区别：
加法交换律：
是数学计算的法则之一。指两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
加法结合律：
即三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加法交换律示例：
字母表示： a+b=b+a
例如2+3=3+2
加法结合律示例：
字母表示：a+b+c=a+(b+c)
例如：2+3+4=2+（3+4）
加法结合律是指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
这两项都是数学计算的基本法则。加法交换律用字母表示为：a+b=b+a；加法结合律用字母表示为：(a+b)+c=a+(b+c)。
加法结合律和加法交换律在简单数学运算中同时使用可以减少一定的计算量。
加法结合律：
即三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加法交换律示例：
字母表示： a+b=b+a
例如2+3=3+2
加法结合律示例：
字母表示：a+b+c=a+(b+c)
例如：2+3+4=2+（3+4）