麻烦帮忙解析一下这道常微分方程题

Question

帮忙看一下我用红线标出来的 三步是怎么来的？？？ 实在不会了 谢谢各位了

Answer 1

原方程右边是xe^(2x)
现在2是单根，根据设特解形式的规定，设特解形式：
y=x(Ax+B)e^(2x) [2是单根，故前面有个x, (Ax+B)e^(2x)是与xe^(2x)前面x同次的多项式），然后：
y=x(Ax+B)e^(2x)=(Ax^2+Bx)e^(2x)
y’=(2Ax+B)e^(2x)+2(Ax^2+Bx)e^(2x)=(2Ax^2+2Bx+2Ax+B)e^(2x)
y’'=(4Ax+2B+2A)e^(2x)+2(2Ax^2+2Bx+2Ax+B)e^(2x)
代入原方程即可求得追问

我不知道第三步怎么出来的

追答

不是有y''-5y'+6y=xe^(2x)吗？代入：

【(4Ax+2B+2A)e^(2x)+2(2Ax^2+2Bx+2Ax+B)e^(2x)】

-5【(2Ax^2+2Bx+2Ax+B)e^(2x)】+6【(Ax^2+Bx)e^(2x)】=xe^(2x)
左边化简，并约掉e^(2x)

追问

谢谢啊 基本明白了 但是不知道特解是怎么设出来的？？

追答

看看书吧！
就以这题为例：
如果2不是根，那么设特解形式： y= (Ax+B)e^(2x)
如果2是单根，那么设特解形式： y= x(Ax+B)e^(2x)
如果2是二重根，那么设特解形式：y=x^2(Ax+B)e^(2x)