数学 不定方程

Question

给我几个例题 要有答案 高一内容

Answer 1

1.在长为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管，问两种长度的水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段？
由于总长度为158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩余的长度是否恰好是8米的整数倍。

　　这个办法是将17米长的水管可取的各种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种办法称为穷举法。当可取的情况很多时，这种办法当然不能令人满意，但当情况较少时，还是可行的。

　　如设17米长的水管用了x根，8米长的水管用了y根，可列出方程

　　17x+8y=158 （1）

　　本题要求这个方程的正整数解。

　　我们用下面的方法来求这个方程的整数解。先将方程变形为：

　　8y=158-17x （2）

　　8y=152+6-16x-x （3）

　　由于152和16x均为8的倍数，因此6-x也应是8的倍数，x只能取6才有可能，用6代x从（2）中可算出y=7。

　　故17米水管用了6根，8米水管用了7根。

　　也可由方程（2）两端同除以8得
y=158-17x/8 y=152+6-16x-x/8 y=19-2x+(6-x)/8
由于x、y是整数，19-2x也是整数，故可知6-x/8也是整数。显然只当x=6时，6-x/8为整数。此时 6-x/8＝0，y=7
这种解法叫做整数离析法或整数分离法。
2.大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。

分析：设需大车x辆，小车y辆，可得方程

　　54x+36y=378

　　由（54，36）=18，18|378，原方程可化为

　　3x+2y=21

　　且一定有整数解。

　　容易看到x=1，y=9就是3x+2y=21的整数解，那么，3x+2y=21的所有整数解为
x=1+2t y=9-3t

　　t为任意整数。

　　3x+2y=21除t=0时，有整数解x=1，y=9之外，

　　当t=1时，有整数解x=3，y=6。

　　当t=2时，有整数解x=5，y=3。

　　当t=3时，有整数解x=7，y=0。

　　因此，可要大车1辆，小车9辆；或大车3辆，小车6辆；或大车5辆，小车3辆；也可只要7辆大车，不要小车，都能使378名乘客都上车且车都坐满。

　　当t≤4时，由于y不再是0和正整数，从而使解失去实际意义。