正十七边形的作法
1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。 前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用贺规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。 他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。 困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。 当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。 见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……” 导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。” 导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。 青年很快做出了一上正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！” 原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。 每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。” 这位青年就是数学王子高斯。 高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。 关于正十七边形的画法（高斯的思路，本人并非有意剽窃^_^）： 有一个定理在这里要用到的： 若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的， 其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。 上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。 （这一步，大家会画吧？） 而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。 下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。 设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16p ai/17)]>0 a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos( 14pai/17)]<0 则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。 令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0 c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0 则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1 同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。 再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c 这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根, 显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了 1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。 希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对於正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了： 一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一： 1、n = 2k，k = 2, 3,… 2、n = 2k × (几个不同「费马质数」的乘积)，k = 0,1,2,… 费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257， F4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在 2007-12-21 22:14:29 隐藏意见（6） 过客 60.63.73.* 《3800年七大数学死题破解》 《崔荣琰多功能尺》实用指导开讲 旨在，用科学发展观，拓展学生思路，大胆创新的《3800年七大数学死题破解》及《崔荣琰多功能分角尺》实用指导讲座，日前，在上海再次成功举办。 四十位高中年级数学爱好者代表到会认真听讲。 中英文版《3800年七大数学死题破解》一书，自2007年7月出版后，国内外一流大学及中国各大城市图书舘已有收藏、借阅。 该书作者崔荣琰老师，解读了尺规作图：“三等分任意角，化圆为方，作倍立方体，作正七、九、十一、十三边形”，这七大历经3800年的数学‘死题’的来历、现状及演示、讲述、破解的多种方法。 2009-05-11 22:02:27 过客 119.85.244.* 狂晕，这故事是后人乱编的。 高斯是专门花了3个月假期安起心解决的。 不过也是高手，牛顿那些解决了那么久，他三个月就解决了。
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