如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求

Question

如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若∠AED=2∠EAD，AC=6．求DE的长．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，
∵△ACE是等边三角形．
∴OE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，OE⊥AC，
∴∠AEO=

1

2

∠AEC=30°，
∵∠AED=2∠EAD，
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，BD⊥AC，
∴∠CDB=∠ADB=45°
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴OA=OC=OD=

1

2

AC=3，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO=60°
在Rt△AOE中，OE=OAtan60°=3

3

∴DE=OE-OD=3

3

-3．