高数积分的一些题目

Question

2013年福建专升本的数学题，不知道为什么我在网上找不到这年题目的答案

17. 设f(x)=∫0到x cos(t^2)dt ，则f'(√π)=___。 这个我算的答案是-2，但是给我的答案是-1
18. ∫-1到1 (5sin^2013 x - 2tanx + 3)dx=? 完全没思路 ，答案是6

求这两道题目的解题过程或思路，谢谢了

Answer 1

17、
【分析】
定积分求导： f（x）=∫（x 0）cost²dt f'(x) = cosx²
【解答】
f'(√π）=cosπ = -1

18、
【分析】
对称区间(-a，a）积分时，先看被积函数是否为奇偶函数。
奇函数在对称区间积分，结果为0，偶函数在对称区间积分，其值为2倍的（0，a）区间积分值。
【解答】
在对称区间（-1，1）上，5sin^2013 x - 2tanx 为奇函数，积分结果为 0，所以
∫（-1，1）(5sin^2013 x - 2tanx + 3)dx = ∫（-1，1） 3dx = 3x |（-1,1） = 6

newmanhero 2015年3月5日16:44:10

希望对你有所帮助，望采纳。追问

18题懂了，但是17题为什么是写成cosx^2而不是cosx^2|(x 0)呢？还是求导后不需要这样？

追答

根据牛顿、莱布尼茨公式：∫（x 0）f(t)dt = F(x)-F(0) ∫（0 x）f(t）dt=F(0) - F(x)
等式两端求导，得
（∫（x 0）f(t)dt）' = F'(x) = f(x) （∫（0 x）f(t）dt）= - F'(x) = -f'(x)