已知∠AMD三点坐标分别为A(-3,0),M(-1,-1)D(0,1) ,将∠AMD绕点M顺时旋转
已知∠AMD三点坐标分别为A(-3,0),M(-1,-1)D(0,1) ,将∠AMD绕点M顺时旋转，两边MA，MD与X轴，Y轴分别交于点E，F，若△DMF为等腰三角形。求点E的坐标
分两种情况。
据A、M、D三点的坐标可知AM=MD且∠AMD=90°。
图一中，⊿DMF是等腰三角形。记MD与x轴交于N则N点的坐标是（-1/2,0）易证NF是MD的垂直平分线，由NO=1/2，OD=1，算得ND=(√5)/2.，DF=5/4.。
∵⊿AMN和⊿NOD是直角三角形且有一组锐角为对顶角，∴∠1=∠2；
∵∠AMD=∠EMF=90°，∴∠3=∠4，则⊿AME≌⊿DMF，得AE=DF=5/4，
EO=AO-AE=3-5/4=7/4，E点的坐标是（-7/4,0）。
图二中，⊿DMF是等腰三角形。已知∠1=∠2，AM=MD,∠AMD=90°
另由∠3=∠4=90°得∠AME=∠DMF，
可证⊿AME≌⊿DMF，则⊿AME也是等腰直角三角形，AM=ME.。
作AE的垂直平分线MG，G在AE上，则G点的坐标是(-1,0),E点的坐标是（1，0）。
——E点的坐标是(-7/4,0)或(1,0)。
后记，的确还有第三种情况，见于pkuwgl的解答。
恰有3个解, 从左往右依次是 (-7/4, 0), (-3+√5, 0), (1, 0).
AD^2=3^2+1=10,
AM^2=2^2+1=5,
MD^2=1+2^2=5.
由勾股定理, AMD是斜边为AD的等腰直角三角形.
从而, 可由旋转不变性推出, MDF是等腰三角形当且仅当MAE是等腰三角形.
很容易看出, 点E在点A右方, 且恰有如下三个解:
角MAE是三角形MAE的顶角, 这时AE=AM=√5, 所以E=(-3+√5, 0).
角MAE是三角形MAE的底角, 且边AE是三角形MAE的底边, 这时M在x轴的投影M'=(-1,0)是底边AE的中点, 所以E=(1, 0).
角MAE是三角形MAE的底角, 且边AE是三角形MAE的腰. 这时求出底边AM的中点K=(-2,-1/2), AM的斜率-1/2, 所以底边AM上的高的斜率是2, 这个高过点K, 所以高的方程是y+1/2=2(x+2). 它与x轴交点是(-7/4, 0).
如图，<AMD=90度，MD = 根号（5）
有两种情况:
DM=DF, F(0,1-根号（5）），E(0,2)
MD=MF, F(0,-3), E(0,-1/2）