二项分布数学期望和方差公式，

Question

如题所述

Answer 1

1、二项分布求期望：

公式：如果r～ B(r,p），那么E(r)=np

示例：沿用上述猜小球在哪个箱子的例子，求猜对这四道题目的期望。E(r) = np = 4×0.25 = 1 （个），所以这四道题目预计猜对1道。

2、二项分布求方差：

公式：如果r～ B(r,p），那么Var(r)=npq

示例：沿用上述猜小球在哪个箱子的例子，求猜对这四道题目的方差。

Var(r)=npq = 4×0.25×0.75=0.75

扩展资料

由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和.

设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).

因X(k)相互独立，所以期望：

方差：

参考资料来源：百度百科-二项分布

Answer 2

二项分布的期望的方差的证明
山西大学附属中学 韩永权
离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)Cnkpkqnk，（k0,1,2n q1p）

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnkpkqnk＝b(k；n，p)．
1 求证：服从二项分布的随机变量的期望Enp.
kk1
证明如下：预备公式： kcnncn1
00n10n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10(pq)n1(cnc1cn...cnq...cnq)1pqn1pq1pq1p1pkkkknk因为p(k)cnp(1p)nkcnpq,
00n1n122n2kknkn0n所以 E0cnpq1c12cnpq...kcnpq...ncnpq npq00n110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10 =np(cnpqcpqcpq...cpq...cq) 1n1n1n1n1p
=np(pq)n1np 所以Enp 方法二：
证明：若 X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。
若设Xi
1如第i次试验成功
i1,2,
0如第i次试验失败
n
则XX1X2...Xn，因为 P(Xi1)P，P(Xi0)1Pq 所以E(Xi)0q1pp，则E(X)E[Xi]E(Xi)np
i1
i1
n
n
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。 2 求证：服从二项分布的随机变量
的方差公式
Dnpq(q1p)
1k2
预备公式：k2CnknCnk1n(n1)Cn2 kk1k1k2CnknCn)1]Cn1n[(k11
k1k12kk1k2k1k2nCn)Cn1n(k1)Cn1nCn1n(n12 kCnnCn1n(n1)Cn2
22方法一：证明：DE(E)
iini
Ei2Cnpq 2
i0
n
n
n
Cpq
1
n
n1
nC
i2n
i1n1
pq
ini
i2ini
n(n1)Cn 2pqi2
npq
n1
npC
i1
i1
n1
pq
i1ni
npCq
0n1n1
n(n1)p
2
C
i2
n
i2n2
pi2qni
npqn1np(pq)n1npqn1n(n1)p2(pq)n2
npqn1npnpqn1n(n1)p2npn2p2np2np(1p)n2p2npqn2p2
22
由公式D(X)E(X2)[E(X)]2知，DE(E)
npqn2p2(np)2np(1p)
方法二： 设~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。
若设Xi
n
1如第i次试验成功
i1,2,
0如第i次试验失败
n
则i是n次试验中“成功”的次数，E(i)0q1pp，
i1
故 D(i)E(i2)[E(i)]2pp2p(1p)， i1,2,,n 由于1,2,...,n相互独立，于是
n
D()D(i)np(1p)
i1追答

死人。

Answer 3

　　1、二项分布数学期望Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)
　　=n*p*(p+q)^(n-1)
　　=n*p，
　　方差Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
　　=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ) － n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1) *q^(n-ξ) － n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ ，n}＋C{ξ ，n}*q)
　　=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ ，n}*q－(C{ξ ，n}－C{ξ-1，n-1})]
　　=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]
　　=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]
　　=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－
　　∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]
　　=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]
　　=n*p*[n*q－(n-1)*q]
　　=n*p*q，其中p为单次事件发生的概率，q=1-p。
　　2、二项分布的概念：在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。

Answer 4

期望 E（x）=np 方差=np（1-p）
望采纳 谢谢本回答被提问者采纳

Answer 5

二项分布的期望、方差公式：