狄利克雷函数在0处为什么可导，狄利克雷函数处处不连续，我认为不连续一定不可导，但为什么数学分析书上

Question

狄利克雷函数在0处为什么可导，狄利克雷函数处处不连续，我认为不连续一定不可导，但为什么数学分析书上有道例题：（请看拍的题例4）

Answer 1

连续函数的四则运算有一个注意事项：D（x）不连续，g（x）=x^2连续，积不一定不连续。

x0≠0时不连续，并没有说x0=0时不连续，与后面x0=0时可导不矛盾。

证明：

假设命题不成立

设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数

X为任意无理数

则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)

X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)

则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾

故假设不成立，命题1成立

扩展资料：

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

函数是可测函数在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）

对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）

参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数

Answer 2

问题是，
题中讨论的不是狄利克雷函数D(x)
而是x²D(x)
这是一个经典例子，
仅在一点连续和可导，
好好研究它吧！追答

前面的话表明，
x0≠0时不连续，
并没有说x0=0时不连续，
与后面x0=0时可导不矛盾。
要注意阅读

追问

那为什么x^2D（x）在0处可导，顺便问一下，是不是不连续一定不可导？

但狄利克雷函数处处不连续

追答

可导，书上证明了啊！

f'(0)=0，不就是可导吗？

狄利克雷函数处处不连续，
并不意味着x²D(x)就处处不连续

追问

请问，是不是不连续就意味着不可导？

追答

你的数学分析学成这样，
我真的无话可说

建议重头思考极限问题，
特别是极限的计算规则，
你这完全是混乱的

追问

好吧

那是不是不连续就意味着不可导？

追答

是的，可导必连续，
那么，不连续就必然不可导

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Answer 3

你说得对 不连续一定不可导 但是这个题函数f（x）是x^2D（x）所以在证明x=0可导时没用到D（x）的不连续性而只用到x的连续性

Answer 4

连续函数的四则运算有一个注意事项：D（x）不连续，g（x）=x^2连续，他们的积不一定不连续，

Answer 5

我来捋一下，狄利克雷函数不管在0点处也好，还是在哪个点处，都不连续。这个题之所以在0点处连续是因为x的平方在x趋于-0的时候与x的平方趋于+0的时候都是无穷小量，而狄利克雷函数是一个有界的震动的量，无穷小量乘以任何有界的量都是0，所以在x=0处是连续的同样的道理去分析。可得到在0处也是可导的