请问这个行列式怎么求 我把每一行的每一个数都加在第一列 然后第一列就都是a＋b 然后把第

Question

请问这个行列式怎么求 我把每一行的每一个数都加在第一列 然后第一列就都是a＋b 然后把第一列的a＋b提出来 第一列就都变成了1 然后用上一行减下一行 本想把它化成三角行行列式 结果发现左下角还有个1 怎么办呢 有没有什么好办法

Answer 1

有个法子，把行列式最后一行分解成：

b+0  0+0  0+0………0+0  0+a

然后根据最后一行的分解，可以把这个行列式分解成两个行列式相加。如下图：

这样第二个行列式就等于a^n

第一个行列式把最后一行和倒数第二行对换，然后再和倒数第三行对换，然后再和倒数第四行对换……直到和第一行对换，这样换n-1次，就换成了对角线都是b的下三角行列式，所以第一个行列式就等于（-1）^（n-1）*b^n

所以整个行列式=（-1）^（n-1）*b^n+a^n

a^n是表示a的n次幂。

追问

b的n次幂前面为什么要乘 负一的n-1次幂呀

前面的行列式不就是这个吗

三角形的行列式 不就是b的n次幂吗

Answer 2

把第一列×(-1)加到第二列去，再用数学归纳法。

Answer 3

按第一列展开 然后一个上三角一个下三角