简单的高数积分问题，有答案，波浪线处怎么化简出来的？

Question

波浪线四分之π咋出来的

Answer 1

解如下图所示

Answer 2

三角函数的倍角公式，详见下图：

追问

1和0
是怎么变成1/2π和0的

追答

前面换元时令1-x=sint，那么：
积分上限x=1时，sint=0，则t=0；
积分下限x=0时，sint=1，则t=π/2.

追问

哥，我又加了两张图

那两张图波浪线是怎么变化的

在嘛好哥哥

追答

写的最详细的过程吧，其实这是属于“最常规”操作了

本回答被提问者采纳

Answer 3

考虑

2x-x^2 = 1-(x-1)^2

令

x-1=sinu

dx= cosu du

当

x=0, u=0

x=1, u=π/2

∫(0->1) √(2x-x^2) dx

带入上述转换

=∫(0->π/2)  (cosu)^2 du

利用 (cosu)^2 =(1/2)(1+cos2u)

=(1/2)∫(0->π/2)  (1+cos2u) du

=(1/2)[u+(1/2)sin2u]|(0->π/2)  

=π/4

追问

x等于1，u等于1/2π
那cosu不得0了吗也不得1啊

追答

不好意思
2x-x^2
=1-(1-x)^2
sinu=1-x
du=-dx
x=0, u=π/2
x=1, u=0
∫(0->1) √(2x-x^2) dx
=∫(π/2->0) (cosu)^2 (-du)

=∫(0->π/2) (cosu)^2 du
=(1/2)[ u +(1/2)sin2u]|(0->π/2)
=π/4

不好意思
2x-x^2
=1-(1-x)^2
sinu=1-x
du=-dx
x=0, u=π/2
x=1, u=0
∫(0->1) √(2x-x^2) dx
=∫(π/2->0) (cosu)^2 (-du)

=∫(0->π/2) (cosu)^2 du
=(1/2)[ u +(1/2)sin2u]|(0->π/2)
=π/4

追问

这个我明白了哥

我又补了两张图 下一道题
波浪线处怎么画到下一步的
帮我看看呗

追答

u^2/(1-u^2)
=[-(1-u^2) +1]/(1-u^2)
=-1 +1/(1-u^2)
∫u^2/(1-u^2) du
=∫[-1 +1/(1-u^2)] du
=∫{-1 +(1/2)[1/(1-u) + 1/(1+u)] } du
=-u+(1/2)ln|(1+u)/(1-u)| + C

追问

你的符号和答案不对

ln 1+u/1-u 等于 1/1+u-1/1-u

但是你写的是加啊

在吗

Answer 4

这里用的是不定积分那一章节的 分部积分法追问

分部你m了个b

Answer 5

最佳答案: 这道题很容易迷糊，就是要考你看求导能力和运算，还有复合求导你要知道一点比如y的三阶导数（对x的求导）结果是什么...