三次函数对称中心推导

如题所述

三次函数的拐点就是三次函数的对称中心,拐点求法:

设三次函数 y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d a不为0,则y'=3ax^2+2bx+c,y''=6ax+2b,由a不为0,显然可以得到当x=-b/3a 附近 y''有正有负,也就是可以求得 x=-b/3a 是三次曲线凹弧和凸弧的分界点,从而点(-b/3a,f(-b/3a))是三次函数的拐点,也是三次函数的对称中心。

扩展资料:

三次函数性态的五个要点

1、三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数为导数等于0的横坐标。

2、三次函数y=f(x)的图象与x 轴交点个数为根的数目。

3、三次函数的单调性问题为求导数等于0的问题。

4、三次函数f(x)图象的切线条数为可求的三角形的数目。

5、融合三次函数和不等式,创设情境求参数的范围即可。

参考资料来源:百度百科-三次函数



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第1个回答  2023-07-21

要推导出三次函数关于某点的对称中心,我们可以按照以下步骤进行:

假设三次函数为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,其中a、b、c、d为常数。我们要找到一个点(x₀, y₀),使得函数关于这个点对称。

1. 设定对称中心点为(x₀, y₀)。

2. 根据对称性质,如果函数关于点(x₀, y₀)对称,则对于任意x,有f(x) - y₀ = f(2x₀ - x) - y₀。

3. 将函数f(x)代入上述等式中得:ax^3 + bx^2 + cx + d - y₀ = a(2x₀ - x)^3 + b(2x₀ - x)^2 + c(2x₀ - x) + d - y₀。

4. 化简上述等式并整理项得:ax^3 + bx^2 + cx + d - y₀ = 8ax₀^3 - 12ax₀^2x + 6ax₀x^2 - ax^3 + 4bx₀^2 - 4bx₀x + bx^2 + 2cx₀ - 2cx₀^2 - 2cx + c - y₀。

5. 对比等式两边的同次幂项系数,我们得到以下等式:

- 3a = -a,解得a = 0;

- 2b = 0,解得b = 0;

- 2c = 0,解得c = 0;

- d - y₀ = 8ax₀^3 - ax^3 + 4bx₀^2 - ax₀^2x - 4bx₀x + bx^2 + 2cx₀ - 2cx₀^2 - 2cx,

化简得:d - y₀ = 8ax₀^3 - ax^3 + 4bx₀^2 - ax₀^2x - 4bx₀x + bx^2 + 2cx₀ - 2cx₀^2 - 2cx。

6. 因为a、b、c都等于0,所以d - y₀ = 0,解得d = y₀。

综上所述,对称中心点为(x₀, y₀),当且仅当a、b、c都等于0,d等于y₀。

接下来,我将为你提供一个简单的表格,你可以根据需要进行修改:

请注意,这是一个简化的表格用于表示对称中心特点,因为a、b、c等于0,所以该函数的导数也等于0。如果你有其他需要,可以进一步说明,我会尽力提供更多帮助。

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第2个回答  2023-07-19
当我们要推导一个三次函数的对称中心时,我们首先需要找到函数的对称轴,也就是函数图像的轴对称线。对称轴的方程形式为 x = h,其中 h 是对称轴的 x 坐标。
让我们考虑一个一般的三次函数:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
为了找到对称轴的 x 坐标,我们可以使用以下步骤:
将函数进行平移,使对称轴变为函数的新 x 轴。平移的方法是将 x 替换为 x - h,其中 h 是我们要找的对称轴的 x 坐标。
令 u = x - h,我们可以将函数表示为:
f(u + h) = a(u + h)^3 + b(u + h)^2 + c(u + h) + d
化简函数表达式。
f(u + h) = a(u^3 + 3u^2h + 3uh^2 + h^3) + b(u^2 + 2uh + h^2) + c(u + h) + d
展开并合并项。
f(u + h) = au^3 + (3ah + bu^2) + (3ah^2 + 2bh + cu) + (ah^3 + bh^2 + ch + d)
将函数还原为 x 的形式。
f(x) = ax^3 + (3ah + bx^2) + (3ah^2 + 2bh + cx) + (ah^3 + bh^2 + ch + d)
比较原始函数和还原后的函数,我们可以得到以下关系:
a = a
3ah + b = 0
3ah^2 + 2bh + c = 0
ah^3 + bh^2 + ch + d = d
由第二个等式 3ah + b = 0,我们可以解得 h = -b / (3a)。
所以,对称中心的 x 坐标为 -b / (3a)。
要找到对称中心的 y 坐标,我们将 x = -b / (3a) 代入原始函数 f(x) 的表达式中即可。
因此,对称中心的坐标为 (-b / (3a), f(-b / (3a)))。
第3个回答  2023-07-18
要推导三次函数的对称中心,我们可以按照以下步骤进行:

1. 假设我们有一个一般性的三次函数:f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。

2. 对于三次函数,我们要寻找其对称中心,即函数图像的轴对称线。这条轴对称线将通过函数图像的对称中心点,并且对称中心点的横坐标将等于函数的顶点的横坐标。

3. 首先,我们需要找到函数的顶点。顶点的横坐标可以通过以下公式求得:x = -b / (3a)。这是因为三次函数的顶点横坐标的解析表达式为 -b / (3a)。

4. 然后,将这个横坐标代入原始的三次函数中,计算出对应的纵坐标。这个纵坐标就是函数的顶点的纵坐标。

5. 根据上述计算,我们得到了顶点的横坐标和纵坐标。这个点就是函数图像的对称中心。

需要注意的是,以上推导是基于一般化的三次函数,所以对于具体的三次函数,需要根据其具体的系数进行计算。
第4个回答  2023-07-14
三次函数的对称中心可以通过观察其图像或进行计算推导得出。
观察图像法:
对于一般的三次函数y = ax^3 + bx^2 + cx + d,我们可以通过观察其图像来推导对称中心。如果图像在x轴上有对称中心,则函数的对称中心为x = h,其中h为对称中心的横坐标。
计算法:
1. 将一般的三次函数y = ax^3 + bx^2 + cx + d表示为标准形式:y = a(x - h)^3 + k,其中(h, k)为对称中心的坐标。
2. 将标准形式展开并与一般形式进行比较,可得出关系:
- a = 0时,函数无对称中心;
- a ≠ 0时,对称中心的横坐标为h = -b/(3a);
- 对称中心的纵坐标为k = f(h)。
根据上述推导方法,可以得出三次函数的对称中心。
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