在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量 AE ? AF =_

Question

在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量 AE ? AF =______．

Answer 1

设∠EAB=θ，则由正方体的性质可得∠FAD=θ，∠EAF= π 2 -2θ． 设正方形的边长为1，则AE=AF= 1+ 1 4 = 5 2 ，sinθ= 1 2 5 2 = 5 5 ，cosθ= 1 5 2 = 2 5 5 ． ∴cos∠EAF=cos（ π 2 -2θ）=sin2θ=2sinθcosθ= 4 5   向量 AE ? AF = 5 2 ? 5 2 ?cos∠EAF=1， 故答案为1．