在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点,则向量 AE ? AF =_

在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点,则向量 AE ? AF =______.

设∠EAB=θ,则由正方体的性质可得∠FAD=θ,∠EAF=
π
2
-2θ.
设正方形的边长为1,则AE=AF=
1+
1
4
=
5
2
,sinθ=
1
2
5
2
=
5
5
,cosθ=
1
5
2
=
2
5
5

∴cos∠EAF=cos(
π
2
-2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=
4
5
  向量
AE
?
AF
=
5
2
?
5
2
?cos∠EAF=1,
故答案为1.
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