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    • （2009?温州一模）已知矩形ABCD中，AB＝2，BC=1，现沿对角线BD折成二面角C-BD-A，使AC=1（如图）．（I）

    （2009?温州一模）已知矩形ABCD中，AB＝2，BC=1，现沿对角线BD折成二面角C-BD-A，使AC=1（如图）．（I）求证：DA⊥面ABC；（II）求二面角C-BD-A平面角的大小．

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    推荐答案   2014-11-22
    解：（I）∵DA＝AC＝1，DC＝
    2
    ，
    ∴AC2+AD2=CD2，∴DA⊥AC．（3分）
    又∵DA⊥AB，∴AB∩AC=A∴DA⊥平面ABC．（6分）
    （II）方法一：取AB中点M，连CM，
    过M作MN⊥BD交BD于N，
    连CN．∵CA=CB=1，∴CM⊥AB，
    ∵DA?平面ABD，DA⊥平面ABC，
    ∴平面ABC⊥平面ABD．（8分）
    ∴CM⊥平面ABD，∴CM⊥BD．
    又∵MN⊥BD，MN∩CM=M
    ∴BD⊥平面CMN，
    ∴∠CNM为二面角C-BD-A的平面角．（10分）
    ∴MN＝
    2
    2
    3
    ?1＝
    6
    6
    ，CM＝
    2
    2
    ，
    tan∠CNM＝
    CM
    MN
    ＝
    3
    ，∴∠CNM=60°，
    故二面角C-BD-A平面角的度数为60°．（12分）

    方法二：取AB中点M，连CM．
    ∵AC=AB=1，∴CM⊥AB．
    又∵平面ABC⊥平面ABD，∴CM⊥平面ABD．
    取BD中点H，∴MH∥AD．
    ∵AD⊥AB，∴MH⊥AB．
    分别以AB，MH，MC为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（6分）
    得B(
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