设f（x）是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对

Question

设f（x）是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈(1，+∞)都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x 2 -ax+1），则称函数f(x)具有性质P（a）， (Ⅰ)设函数 ，其中b为实数，(ⅰ)求证：函数f（x）具有性质P(b)；(ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)已知函数g（x）具有性质P(2)。给定x 1 ，x 2 ∈(1，+∞)，x 1 ＜x 2 ，设m为实数，α=mx 1 +（1-m）x 2 ，β=（1-m）x 1 +mx 2 ，且α＞1，β＞1，若|g(α) -g(β)|＜|g(x 1 )-g(x 2 )|，求m的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)(ⅰ)由 ，得 ， 因为x＞1时， ， 所以函数f(x)具有性质P(b)． (ⅱ)当b≤2时，由x＞1得x 2 -bx+1≥x 2 -2x+1=(x-1) 2 ＞0， 所以f′(x)＞0，从而函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增； 当b＞2时，解方程x 2 -bx+1=0得 ， 因为 ， ， 所以当x∈(1，x 2 )时，f′(x)＜0；当x∈(x 2 ，+∞)时，f′(x)＞0；当x=x 2 时，f′(x)=0， 从而函数f(x)在区间(1，x 2 )上单调递减，在区间(x 2 ，+∞)上单调递增； 综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，+∞)； 当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为 ，单调增区间为 。 (Ⅱ)由题设知，g(x)的导函数g′(x)=h(x)(x 2 -2x+1)，其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，+∞)都成立， 所以，当x＞1时，g′(x)=h(x)(x-1) 2 ＞0， 从而g(x)在区间(1，+∞) 上单调递增． ①当m∈(0，1)时，有α=mx 1 +（1-m）x 2 ＞ mx 1 +（1-m）x 1 =x 1 ， α＜mx 2 +(1-m)x 2 =x 2 ，得α∈（x 1 ，x 2 ），同理可得β∈(x 1 ，x 2 )， 所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x 1 )，g(x 2 ))， 从而有|g(α)-g(β)|＜|g(x 1 )-g(x 2 )|，符合题设； ②当m≤0时，α=mx 1 +（1-m）x 2 ≥mx 2 +（1-m）x 2 =x 2 ，β=(1-m)x 1 +mx 2 ≤（1-m)x 1 +mx 1 =x 1 ， 于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x 1 )＜g(x 2 )≤g(α)， 所以|g(α)-g(β)|≥|g(x 1 )-g(x 2 )|，与题设不符； ③当m≥1时，同理可得α≤x 1 ，β≥x 2 ，进而得|g(α)-g(β)|≥|g(x 1 )-g(x 2 )|，与题设不符； 因此，综合①②③得所求的m的取值范围为(0，1)。