若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相 同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数” 。 （1）请写出

Question

如题所述

Answer 1

（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）2+k，
当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2（x-3）2+4．
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=3（x-3）2+4．
∵3＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4．
（2）∵y1的图象经过点a（1，1），
∴2×12-4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2-2m+1=0．
解得：m1=m2=1．
∴y1=2x2-4x+3
=2（x-1）2+1．
∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5
=（a+2）x2+（b-4）x+8
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1+y2=（a+2）（x-1）2+1
=（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞-2．
∴
b?4＝?2(a+2)
8＝(a+2)+1
．
解得：
a＝5
b＝?10
．
∴函数y2的表达式为：y2=5x2-10x+5．
∴y2=5x2-10x+5
=5（x-1）2．
∴函数y2的图象的对称轴为x=1．
∵5＞0，
∴函数y2的图象开口向上．
①当0≤x≤1时，
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而减小．
∴当x=0时，y2取最大值，
最大值为5（0-1）2=5．
②当1＜x≤3时，
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而增大．
∴当x=3时，y2取最大值，
最大值为5（3-1）2=20．
综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．

Answer 2

（1）y=x2
y=2x2(x2表示x的平方)
（2）将A(1,1)代入y1得m=1,m=-1
y1=2x2+4x+3,y1=2x-4x+3
将A(1,1)代入y2得a+b+4=0
当y1=2x2+4x+3时，顶点为（-1,1）
代入y1+y2得a-b=-6
解方程组得a=-5,b=1
a为负数，不符合题意，舍去
另一种情况同理
同理，y1=2x-4x+3时