线性代数证明

Question

证明det(A*)=det(A)的n-1次方。

Answer 1

A^(-1)=A*/det(A)
两边取行列式
det(A）^(-1)=det(A*)/det(A)^n (矩阵的每一行提取1/det(A)，一共n行，所以要变成n次方)
所以
det(A*)=det(A)^(n-1)

的确漏了A奇异的情况
以上方法统一为
AA*=detA*E在A奇异的时候也是对的。

我还有个方法可以说明，比较数分一点。
行列式其实只是矩阵元素有限次的代数运算，所以看成多项式的话可以用非奇异的情况来逼近。

Answer 2

当A的行列式不等于时, 由 AA* = |A|E 两边取行列式即有
|A||A*| = |A|^n |E| = |A|^n
所以 |A*| = |A|^(n-1).

当|A| = 0 时, 只需证 |A*| = 0 即可.
反证. 若 |A*|≠0, 则A*可逆
在等式 AA*=|A|E = 0 两边右乘 A* 的逆
得 A = 0
所以 A* = 0. 这与 |A*| ≠0 矛盾.
所以 |A*| = 0.
即当 |A|=0 时 |A*| = |A|^(n-1) 也成立.本回答被提问者采纳

Answer 3

上面那位证明的差不多没错，就是少考虑了 det(A)=0这种情况！！