在17世纪微积分学的初创时期，人们就注意到这门学科的基础问题。I.牛顿和莱布尼茨都曾使用过无穷小，尤其是莱布尼茨及其跟随者，在一阶和高阶无穷小的基础上，发展了微积分理论；他们完全允许引进无穷小和无穷大,而且把它们看做是类似于虚数的理想元素,这些理想元素服从于普通实数的定律。他们所用的记号，在欧洲大陆上被广泛采用。这些记号的优越性，促进了当时微积分理论在欧洲大陆上迅速发展。因此，鲁宾孙把莱布尼茨视为非标准分析的真正先驱者。但是这个理论却存在着显著的内在矛盾──有时把无穷小看作非零而作除数,有时又把它看作是零而舍去。局限于当时的条件，这个矛盾一时还不能彻底解决，难免受到非难和攻击。英国的主观唯心主义哲学家B.贝克莱(1685～1753)主教在1734年著文攻击无穷小为“消失了的量的幽灵”。直到19世纪,A.-L.柯西、B.波尔查诺和K.（T.W.）外尔斯特拉斯用极限理论为数学分析建立了逻辑上严谨的基础，从而促进了数学分析的大发展。此后，无穷小和无穷大在分析学中就再也没有地位，只剩下了诸如“某变量趋于无穷大”这一类的说法而已。极限理论虽然使得数学分析获得了逻辑的严谨性，但是却失去了无穷小方法的简明性和直观性。正因为无穷小方法便于缩短论证,“更合于发明家的艺术”,所以直到今天,许多物理学家、经济学家和工程师仍习惯于运用无穷小方法。然而，数学家们却认为在数学分析中作为数的无穷小是不存在的。直到20世纪60年代，鲁宾孙运用数理逻辑严谨地论证了无穷小的存在性，圆满地解决了莱布尼茨的“无穷小的矛盾”的问题，开创了非标准分析。接着W.卢森堡用超幂方法构造了非标准模型，以后又构造了多饱和模型。此后，非标准分析发展很快，现已成功地应用到许多方面，如点集、拓扑学、测度论、函数空间、概率论、微分方程、代数数论、流体力学、量子力学、理论物理和数理经济等。非标准分析为具有众多的小额贸易的商业市场提供了一个很好的模型。还有，它对模拟一个在边界为无穷大的容器中的压力下进行气体的热力学过程是很有成效的。非标准分析对某些学科中出现的一些困难问题已经作出有益的贡献。例如，用非标准分析方法首先解决了几十年未解决的希尔伯特空间上的多项式紧算子的不变子空间的存在问题；又如，中国数学家用非标准分析方法给出了解决广义函数的乘法问题的一个富有成效的方法；再如，法国数学家对常微分方程的奇异摄动已做出了大量很有意义的成果。还须指出，除非标准分析外，使得无穷小与无穷大能在分析学中使用的还有种种尝试。在这方面最有成效的有D.劳格维茨的无穷小数和中国学者提出的广义数的研究。
