第1个回答 2024-09-02
一、主成分分析
(1)问题提出
在研究过程中，为了全面准确，我们通常收集大量指标。比如研究疾病因素，可能涉及患者的人口学、病史、体征、化验等数十项。直接纳入多元统计分析会增加复杂度，引入多重共线性误差。我们寻求一种方法简化信息、减少变量，同时消除共线性。
主成分分析应运而生。
(2)主成分分析的原理
主成分分析通过坐标旋转，将原始变量转化为新的线性组合，产生互不相关的n个“成分”。它们按照方差递减排列，前m个成分包含了大部分方差，成为“主成分”。主成分并非剩余变量，而是原始变量的综合。
二维数据直观展示：将原变量X1、X2旋转45°，得到Y1、Y2。通过线性组合，它们不相关，Y1方向变异大，Y2小。提取Y1作为主成分。
解决了降维和共线性问题。
二维以上数据用矩阵变换求解，核心思想不变。
二、因子分析
(一)原理和方法
因子分析是对变量间内在结构的分组。高度相关的变量聚在一起，各组变量代表基本要素（公共因子）。原始变量通过公共因子的线性组合表示。公共因子是所有变量共享的特征，特殊因子是独有的。
市场调查示例：食品指标（x1-x5）被分解为“价格与营养”（z1）和“口味”（z2）。
(二)使用条件
(1)足够大的样本量，通常样本量是变量数的5倍以上，大于100例。
(2)变量间有相关性，SPSS通过KMO检验和Bartlett球形检验判断。
(3)生成公因子有意义，必要时通过旋转优化。
三、主成分分析与因子分析
联系：两者都是降维工具，新变量代表原始变量大部分信息且独立，适用于后续分析。
区别：
(1)主成分分析基于方差最大化，不强调实际意义。
(2)因子分析注重解释实际结构。
SPSS中，主成分分析混于因子分析中。以数据文件为例，进行标准化与主成分分析。
1. 数据标准化
加载数据文件，选择相关变量进行描述统计，保存标准化变量。
2. 主成分分析
选择描述统计、因子分析，进行KMO检验、Bartlett检验。
分析因子抽取方法、输出结果，理解公因子方差、总方差解释。
输出结果包括：相关性检验、公因子方差、总方差解释、成分矩阵、主成分表达式。
通过计算变量得到主成分，综合主成分值用于后续检验。
简化信息、减少变量，消除共线性，主成分分析与因子分析提供强大工具。