一个关于不动点的问题，请高手指教

Question

设X是n维欧式空间，T是X->X的非扩张算子（即任意x,y属于X，都有||Tx-Ty||<=||x-y||)
现在任取X中的一个点x(0)，做迭代：x(n+1)=T[x(n)]
则得到一个点列{x(n)}
问题是：如果x'是点列{x(n)}的一个聚点，那么x'是否一定是T的不动点？
请高手指教

补充：在我实际遇到的问题中，上面的算子T其实是这样得到的：T=(1/N)*∑(i=1:N)[p(i)]
其中P（i）是空间中到N个有界闭凸集的投影算子（最佳逼近算子）
这样的话，因为投影算子是非扩张的，所以T作为他们的凸组合也是非扩张的。
并且容易知道点列{x(n)}是有界的。那么在这样的条件下，上述问题哪位能帮我解答一下呢？不胜感谢！
看来上面的问题的确很弱，的确是不一定的，实际的问题是这样的，各位高手帮看看：

在我实际遇到的问题中，上面的算子T其实是这样得到的：T=(1/N)*∑(i=1:N)[p(i)]
其中P（i）是空间中到N个有界闭凸集的投影算子（最佳逼近算子）
这样的话，因为投影算子是非扩张的，所以T作为他们的凸组合也是非扩张的。
并且容易知道点列{x(n)}是有界的。

那么在这样的条件下，如果x'是点列{x(n)}的一个聚点，那么x'是否一定是T的不动点？

Answer 1

T=(1/N)*∑(i=1:N)[p(i)]
其中P（i）是空间中到N个有界闭凸集C(1),...C(N)的投影算子,
如果x'是点列{x(n)}的一个聚点，那么x'一定是T的不动点

证明概要如下：
定义d(x,K)为点x和集合K之间的欧式距离。定义f(x)=d(x,C(1))^2+...+d(x,C(N))^2。定义g(y(1),...,y(N))(x):X->X,g(Y(1),...,Y(N))(x)=d(x,Y(1))^2+...+d(x,Y(N))^2.(其中y(1),...,y(N)属于X)。g极小当且仅当x=(y(1)+...+y(N))/N。f极小当且仅当T(x)=x。如果T(x)与x不同，那么f(T(x))<f(x)。利用f和T的连续性，分析f(x')即可，剩下的我懒的打了啊^_^

Answer 2

最简单的例子，令T(x)=-x.
显然T保持距离不变。取x0非0，迭代序列 {x0, -x0, x0, -x0,...}
x0是这个序列的聚点，而不是不动点。追问

在我实际遇到的问题中，上面的算子T其实是这样得到的：T=(1/N)*∑(i=1:N)[p(i)]
其中P（i）是空间中到N个有界闭凸集的投影算子（最佳逼近算子）
这样的话，因为投影算子是非扩张的，所以T作为他们的凸组合也是非扩张的。
并且容易知道点列{x(n)}是有界的。
那么在这样的条件下，如果x'是点列{x(n)}的一个聚点，那么x'是否一定是T的不动点？

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Answer 3

反例
n=2 x-y=E^(a*Pi*i) , a为有理数,i 为根-1,Pi为圆周率
令T（x-y)=E^(Pi*a*i+根2*i)追问

虽然你的答案我没看懂，但是麻烦你解答一下我在补充说明里提到的实际问题：
在我实际遇到的问题中，上面的算子T其实是这样得到的：T=(1/N)*∑(i=1:N)[p(i)]
其中P（i）是空间中到N个有界闭凸集的投影算子（最佳逼近算子）
这样的话，因为投影算子是非扩张的，所以T作为他们的凸组合也是非扩张的。
并且容易知道点列{x(n)}是有界的。
那么在这样的条件下，如果x'是点列{x(n)}的一个聚点，那么x'是否一定是T的不动点？

Answer 4

例子，令T(x)=-x.
显然T保持距离不变。取x0非0，迭代序列 {x0, -x0, x0, -x0,...}
x0是这个序列的聚点，而不是不动点。

Answer 5

请解释一句数学语言：在伸缩变换过程中，图像与y轴的交点是不动点可是，例如图像纵向伸缩与y轴交点当然变了，纵向变的就是y的值横向伸缩，图像与y轴的