求数学大神。一道超难的奥数题！我们老师也不知道做。 1+1/（1+2）+1/（1+2+3）+……+

Question

求数学大神。一道超难的奥数题！我们老师也不知道做。
1+1/（1+2）+1/（1+2+3）+……+1/（1+2+3+……+n）
只知道答案是2n /(n +1)

Answer 1

1+1/（1+2）+1/（1+2+3）+……+1/（1+2+3+……+n）
=2/1×2 +2/2×3+2/3×4+......+2/n(n+1)
=2×[1/1×2 +1/2×3+1/3×4+......+1/n(n+1)]
=2×【1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.....+1/n-1/(n+1)】
=2×[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)追问

非常感谢！

Answer 2

分母的通项是an=1+2+...+n=n(n+1)/2
所以1/an=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]

所以1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3+...+n)
=2(1-1/2)+2(1/2-1/3)+2(1/3-1/4)+...+2[1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)

如果不懂，请追问，祝学习愉快！

Answer 3

追问

第二行为什么2/n(n +1)等于后面的？

追答

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Answer 4

1+2+3+...+n＝n(n+1)/2
an=(1/1+2+3+...+n)=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
S=1+(1/1+2)+(1/1+2+3)+...+(1/1+2+3+...+n)
=2[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=2n/(n+1)

Answer 5